Tal vez el comentario se refiere al hecho de que en el fin de generalizar los anillos de estructuras con no conmutativa addiiton, uno no puede simplemente eliminar el axioma de que la suma es conmutativa, ya que, de hecho, otros axiomas de la fuerza, además de ser conmutativa (Hankel, 1867 [1]). La prueba es simple: se aplican tanto a la izquierda y a la derecha
distributiva de la ley en orden diferente al término de $\rm\:(1\!+\!1)(x\!+\!y),\:$ viz.
$$\rm (1\!+\!1)(x\!+\!y) = \bigg\lbrace \begin{eqnarray} (1\!+\!1)x\!+\!(1\!+\!1)y\, =\, x \,+\, \color{#C00}{x\!+\!y} \,+\, y\\
\rm 1(x\!+\!y)\!+1(x\!+\!y)\, =\, x\, +\, \color{#0A0}{y\!+\!x}\, +\, y\end{eqnarray}\bigg\rbrace\:\Rightarrow\: \color{#C00}{x\!+\!y}\,=\,\color{#0A0}{y\!+\!x}\ \ por\ \ cancelar\ \ x,$y$
Por lo tanto conmutatividad de la suma, $\rm\:x+y = y+x,\:$ es implicada por estos axiomas:
$(1)\ \ *\,$ distribuye más de $\rm\,+\!:\ \ x(y+z)\, =\, xy+xz,\ \ (y+z)x\, =\, yx+zx$
$(2)\ \, +\,$ es cancellative: $\rm\ \ x+y\, =\, x+z\:\Rightarrow\: y=z,\ \ y+x\, =\, z+x\:\Rightarrow\: y=z$
$(3)\ \, +\,$ es asociativa: $\rm\ \ (x+y)+z\, =\, x+(y+z)$
$(4)\ \ *\,$ tiene un elemento neutro $\rm\,1\!:\ \ 1x = x$
Con el fin de establecer este resultado de manera concisa, recordemos que un SemiRinges
que la generalización de un Anillo cuya estructura aditiva es relajado
a partir de una conmutativa Grupo a sólo una SemiGroup, es decir, aquí el único
hipótesis en la adición es asociativa (por lo que en SemiRings,
a diferencia de los Anillos, además de la necesidad de no ser conmutativa, ni es necesario que cada
elemento $\rm\,x\,$ tiene un inverso aditivo $\rm\,-x).\,$ Ahora el resultado anterior puede
ser enumeradas como sigue: un semiring con $\,1\,$ y cancellative además
ha conmutativa de la adición. Tal semirings son simplemente subsemirings
de los anillos (como es$\rm\:\Bbb N \subset \Bbb Z)\,$, debido a que cualquier conmutativa cancellative
semigroup incrusta canónicamente en un conmutativa grupo, su grupo
de diferencias (exactamente de la misma manera $\rm\,\Bbb Z\,$ está construido a partir de $\rm\,\Bbb N,\,$
es decir, el aditivo versión de la fracción de campo de la construcción).
Ejemplos de SemiRings incluyen: $\rm\,\Bbb N;\,$ segmentos inicial de los cardenales;
de distribución de redes (por ejemplo, los subconjuntos de un powerset con las operaciones de $\cup$$\cap$;
$\rm\,\Bbb R\,$ + , siendo min o max, y $*$ de adición; semigroup semirings
(por ejemplo, de poder formal de la serie); los lenguajes formales de la unión, concat; etc.
Para un buen estudio de SemiRings y SemiFields ver [2]. Véase también Cerca de los Anillos.
[1] Gerhard Betsch. En los inicios y el desarrollo de cerca el anillo de la teoría.
páginas 1-11 en:
Cerca de los anillos y cerca de los campos. Actas de la conferencia
celebrada en Fredericton, New Brunswick, julio de 18 a 24, 1993. Editado por Yuen Fong,
Howard E. Bell, Wen-Fong Ke, Gordon Mason y Gunter Pilz.
La matemática y sus Aplicaciones, 336. Kluwer Academic Publishers Group,
Dordrecht, 1995. x+278 pp. ISBN: 0-7923-3635-6 Zbl revisión
[2] Hebisch, Udo; Weinert, Hans Joachim. Semirings y semifields. $\ $ p 425-462 en: Manual de álgebra. Vol. 1. Editado por M. Hazewinkel.
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1996. xx+915 pp. ISBN: 0-444-82212-7
Zbl de revisión,
AMS revisión
