En los Mangos' el cuarto grado de aproximación de $\pi \approx \frac{6}{\sqrt{3502}}\ln(2u)$

Question

En Mathworld "Pi Aproximaciones", (línea 58), Weisstein menciona uno por el matemático Daniel Mangos que se diferencia por sólo $10^{-82}$,

$$\pi \approx \frac{6}{\sqrt{3502}}\ln(2u)\color{blue}{+10^{-82}}\la etiqueta{1}$$

y se dice que $u$ es un producto de cuatro simples cuártica unidades, pero no expresamente las expresiones. Me las arreglé para localizar los Mangos' Diedro Cuártica Aproximaciones y Series para Pi (1982) el cuarto grado Aproximaciones de Pi (1980) online antes así que,

$$u = (a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2(c+\sqrt{c^2-1})(d+\sqrt{d^2-1}) \aprox 1.43\times10^{13}$$

donde,

$$\begin{aligned} a &= \tfrac{1}{2}(23+4\sqrt{34})\\ b &= \tfrac{1}{2}(19\sqrt{2}+7\sqrt{17})\\ c &= (429+304\sqrt{2})\\ d &= \tfrac{1}{2}(627+442\sqrt{2}) \end{aligned}$$

(Observación: En la caña de papel, las expresiones para $a,b$ son diferentes, ya que él no los expresan como cuadrados.)

Un pequeño retoque a $(1)$ enormemente a aumentar su precisión a $10^{-161}$,

$$\pi \approx \frac{1}{\sqrt{3502}}\ln\big((2u)^6+24\big)\color{blue}{+10^{-161}}\la etiqueta{2}$$

Me di cuenta de la constante de $u$ también puede ser expresada en términos de la Dedekind eta función $\eta(\tau)$ como,

$$u = \frac{1}{2}\left(\frac{\eta(\tfrac{1}{2}\sqrt{-3502})}{\eta(\sqrt{-3502})}\right)^4\aprox 1.43\times 10^{13}$$

lo que explica por qué $24$, se mejora la precisión. Tenga en cuenta que el número de clase de $4 = d\cdot3502$ es $h(-d)=16$, y $u$ es un número algebraico de deg $16$. Mathworld tiene una lista de los números de la clase de d. Sin embargo, también podemos utilizar los con $h(-d)=8$, tales como,

$$x = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\eta(\tfrac{1}{2}\sqrt{-742})}{\eta(\sqrt{-742})}\right)^2 \aprox 884.2653\dots$$

que es una raíz de la 8°,

$A$1 + 886 x + 1535 x^2 + 962 x^3 + 1628 x^4 - 962 x^5 + 1535 x^6 - 886 x^7 + x^8 = 0$$

Pregunta: de forma Análoga a $u$, ¿cómo podemos expresar de $x$ como un producto de dos cuártica unidades?

Answer 1

Deje que $a = \displaystyle{ \frac{11 + \sqrt{106}}{2}}$ y $b = \displaystyle{ \frac{21 + 2 \sqrt{106}}{2}}.$ Entonces

$$x = (a + \sqrt{a^2 - 1}) (b + \sqrt{b^2 + 1}).$$

Conforme a lo solicitado, este exhibiciones de $x$ como un producto de dos cuártica unidades. (Para los puristas, tenga en cuenta que $a$ y $b$ son sólo la mitad algebraica de los números enteros, pero las expresiones anteriores son genuinamente unidades. Yo les escribí en este formulario para cumplir con el ejemplo anterior de la OP) La primera unidad (relacionada con $una$) genera un grado de cuatro extensión cuya Galois el cierre del grupo de Galois $D_8$, pero el último genera una extensión de Galois con grupo de Galois $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$.

Para aquellos que juegan en casa, esto permite la simplificación adicional

$a$b + \sqrt{b^2 + 1} = (1 + \sqrt{2})^2 \cdot \frac{7 + \sqrt{53}}{2} .$$

Answer 2

Las siguientes no es una respuesta directa a su pregunta, sino que es demasiado largo para un comentario.

Esto es, básicamente, Ramanujan la aproximación $$\pi \approx \frac{24}{\sqrt{n}}\log(2^{1/4}g_{n}) = \frac{6}{\sqrt{n}}\log (2g_{n}^{4}) = \frac{6}{\sqrt{n}}\log (2u)\etiqueta{1}$$ donde $g_{n}$ es Ramanujan el invariante de la clase dada por $$g_{n} = 2^{-1/4}e^{\pi\sqrt{n}/24}(1 - e^{-\pi\sqrt{n}})(1 - e^{-3\pi\sqrt{n}})(1 - e^{-5\pi\sqrt{n}})\cdots\etiqueta{2}$ $ $N = 3502 = 2 \17 \times 103$ y es sabido que muchos de los valores de $n$ la clase invariante $g_{n}$ es una unidad, de modo que $u = g_{n}^{4}$ es también una unidad. El valor de $u$ dada en la pregunta es, claramente, una unidad.

Elevando ambos lados de $(2)$ al 24 de potencia y haciendo algunos simpification nos dan $$(2u)^{6} + 24 = 64g_{n}^{24} + 24 = e^{\pi\sqrt{n}} + 276e^{-\pi\sqrt{n}} + \cdots = e^{\pi\sqrt{n}}(1 + 276e^{-2\pi\sqrt{n}} + \cdots)\etiqueta{3}$$ y por lo tanto en la toma de registros tenemos $$\log\{(2u)^{6} + 24\} = \pi\sqrt{n} + \log(1 + 276e^{-2\pi\sqrt{n}}) \approx \pi\sqrt{n} + 276e^{-2\pi\sqrt{n}}$$ y por tanto $$\pi \approx \frac{1}{\sqrt{n}}\log\{(2u)^{6} + 24\} - \frac{276}{\sqrt{n}}e^{-2\pi\sqrt{n}}\etiqueta{4}$$ El error es del orden de $e^{-2\pi\sqrt{n}}$ y en la fórmula de $(1)$ es del orden de $e^{-\pi\sqrt{n}}$ (como se desprende de la infinita producto de $(2)$). Poner $n = 3502$ vemos que el error en la fórmula de $(1)$ es del orden de $10^{-81}$ y en la fórmula de $(4)$ es del orden de $10^{-161}$. Ver Ramanujan del papel "de congruencias y Aproximaciones a $\pi$".