En $i$ -centro $Z_{i}(G)$

Question

Sea $H$ sea un subgrupo normal de a $p$ -grupo $G$ , $H$ es de orden $p^i$ . Demostrar que $H$ se encuentra en el $i$ -centro $Z_{i}(G)$ .

Recordemos que definimos $Z_{0}(G)=1$ y para $i>0$ , $Z_{i}$ es el subgrupo de $G$ correspondiente a $Z(G/Z_{i-1})$ por el Teorema de Correspondencia: $Z_{i}/Z_{i-1}=Z(G/Z_{i-1})$

La secuencia de subgrupos $Z_{0}\subset Z_{1}\subset Z_{2}\subset\ldots$ se denomina serie central superior de $G$

Utilizo la inducción en $i$ y considerar $G/Z(G)$ . El caso $i=0$ es trivial ( $H=1$ y $Z_{0}(G)=1$ ). ¿Cómo debo continuar la prueba?

Gracias por cualquier información.

Answer 1

Si un subgrupo $H$ es normal, entonces la clase de conjugación de cada $h\in H$ se encuentra en $H.$ El tamaño de una clase de conjugación es una potencia de $p$ (ya que es el cociente del orden de $G$ por el orden del centralizador de un elemento). Dado que la identidad tiene clase de conjugación de tamaño $1,$ eso significa que hay al menos otro $p-1$ elementos en $H$ cuyas clases de conjugación tienen tamaño uno. Pero eso es lo mismo que estar en el centro de $G.$ Así que.., $H\cap Z(G) \neq \{e\}.$ Ahora, modifique por $Z(G),$ repetir.

Answer 2

Eso es ejercicio $9$ , página $222$ del libro Grupos: Una introducción a las ideas y métodos de la Teoría de Grupos, Antonio Machi. Se puede encontrar una pista detallada sobre ese libro.

P/s: el ejercicio de ese libro es una versión más fuerte de este problema.