Contratación De Los Índices De

Question

¿Alguien sabe cómo obtener a partir de (1) a (2) en el sistema

$$ \begin{align} \mathrm{g}^{\mu\nu}_{,\rho}+ \mathrm{g}^{\sigma\nu}{{\Gamma}}^{\mu}_{\sigma\rho}+ \mathrm{g}^{\mu\sigma}{{\Gamma}}^{\nu}_{\rho\sigma} -\frac{1}{2}( {{\Gamma}}^{\sigma}_{\rho\sigma}+{{\Gamma}}^{\sigma}_{\sigma\rho} ) \mathrm{g}^{\mu\nu} &=0, \tag1 \\ \mathrm{g}^{[\mu\nu]}_{,\nu} +\frac{1}{2}( {{\Gamma}}^{\rho}_{\rho\nu}-{{\Gamma}}^{\rho}_{\nu\rho} ) \mathrm{g}^{(\mu\nu)} &=0, \tag2 \end{align} $$

mediante la contratación de la ecuación (1) una vez con respecto a ($\mu,\rho$), con respecto a ($\nu,\rho$)?

Donde $\Gamma$ no es simétrico con respecto a los Índices menores.

Mi intento de tan lejos para resolver este problema es: Así, cuando el contratante con respecto a µ y ρ que obtengo: $$ -\frac{1}{2} g^{\rho \nu } {\Gamma} _{un\rho}^{a}-\frac{1}{2} g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho}^{a}+g^{\nu} \Gamma _{un\rho}^{\rho}+g^{\rho} \Gamma _{\rho}^{\nu}+g_{,\rho}^{\rho\nu}=0 $$ y cuando contratantes con respecto a las nu y ρ que obtengo: $$ -\frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{un\rho}^a-\frac{1}{2} g^{\mu \rho} \Gamma _{\rho}^+g_{}^{un\rho } \Gamma _{un\rho}^{\mu }+g^{\mu} \Gamma _{\rho}^{\rho }+g_{,\rho }^{\mu \rho }=0 $$ cuando restando estas dos ecuaciones que obtengo: $$ \frac{1}{2} g_{}^{\mu \rho } \Gamma _{un\rho }^a-\frac{1}{2} g_{}^{\rho \nu } \Gamma _{un\rho } ^+\frac{1}{2} g_{}^{\mu \rho } \Gamma _{\rho}^a-\frac{1}{2} g_{}^{\rho \nu } \Gamma _{\rho a}^+g_ {}^{\nu } \Gamma _{un\rho }^{\rho }-g_{}^{un\rho } \Gamma _{un\rho }^{\mu }-g_{}^{\mu} \Gamma _{\rho}^{\rho }+g_{}^{\rho} \Gamma _{\rho a}^{\nu }-g_{,\rho }^{\mu \rho }+g_{,\rho }^{\rho \nu }=0 $$ No puedo ver cómo esto es igual a la ecuación (2)

Answer 1

El intento de obtener

$$ g^{[\mu\nu]}_{,\nu} +\frac{1}{2}( {{\Gamma}}^{\rho}_{\rho\nu}-{{\Gamma}}^{\rho}_{\nu\rho} ) g^{(\mu\nu)} =0, $$ era casi la derecha! La única cosa que faltaba era un poco de cuidado con el re-etiquetado de los índices. Vamos a proceder en tres pasos principales.

1.) Así que a la hora de contratar Eq. (1) con respecto a $\mu$$\rho$, obtenemos la identidad:

$$ -\frac{1}{2} g^{\rho \nu } {\Gamma} _{un\rho}^{a}-\frac{1}{2} g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho}^{a}+g^{\nu} \Gamma _{un\rho}^{\rho}+g^{\rho} \Gamma _{\rho}^{\nu}+g_{,\rho}^{\rho\nu}=0. $$

Ahora por volver a etiquetar las maquetas de los índices en el 3er trimestre como $ a \leftrightarrow \rho$, obtenemos que el 3er término puede ser escrito como $g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho a}^{a}$. Por otra parte, nos podemos ver que ahora el 2º y el 3er término puede ser simplificada: añadiendo da $+ \tfrac{1}{2}g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho a}^{a}$. Por un índice final de la etiqueta de cambio de $\nu \to \mu$, obtenemos que:

$$ -\frac{1}{2} g^{\rho \mu } {\Gamma} _{un\rho}^{a}+\frac{1}{2} g^{\rho \mu} \Gamma _{\rho}^{a}+g^{\rho} \Gamma _{\rho}^{\mu}+g_{,\rho}^{\rho\mu}=0. \; \; \; \; (A) $$

2.) A la hora de contratar Eq. (1) con respecto a $\nu$$\rho$, obtenemos la identidad:

$$ -\frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{un\rho}^a-\frac{1}{2} g^{\mu \rho} \Gamma _{\rho}^+g_{}^{un\rho } \Gamma _{un\rho}^{\mu }+g^{\mu} \Gamma _{\rho}^{\rho }+g_{,\rho }^{\mu \rho }=0. $$

También vamos a cambiar el nombre de las maquetas de los índices en el 4º término como $ a \leftrightarrow \rho$. Ahora podemos ver que el 4º término es simplemente $g^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho}^a$, y la 1ª y la 4ª plazo de ahí que en conjunto dan $\frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho}^a$. Además, vamos a realizar también la $ a \leftrightarrow \rho$ "dummy índice de re-etiquetado", produciendo $g_{}^{\rho a} \Gamma _{\rho a}^{\mu }$ para el 3er trimestre. Después de estas manipulaciones nuestra identidad se lee como

$$ \frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{un\rho}^a-\frac{1}{2} g^{\mu \rho} \Gamma _{\rho}^+g_{}^{\rho} \Gamma _{\rho}^{\mu }+g_{,\rho }^{\mu \rho }=0. \; \; \; \; (B) $$

3.) Ahora toma (B)-(A), obtenemos:

$$ g_{,\rho }^{\mu \rho } -g_{,\rho}^{\rho\mu} + \frac{1}{2}\left( g^{\mu \rho } + g^{\mu \rho }\right) \left( \Gamma _{un\rho}^a - \Gamma _{\rho}^a \right)=0, $$ que después de la $a \to \rho$ $\rho \to \nu$ re-etiquetado es exactamente el mismo que el deseado Eq. (2).