Máxima ideales y la máxima subespacios de normativa álgebras de

Question

Este es un tipo de "probar o dar un contra-ejemplo" pregunta, y estoy teniendo algunos más difícil): Por un ideal maximal $I$ de un álgebra $A$, nos referimos a un ideal $I\neq A$ que no está correctamente contenidas en cualquier otro adecuado ideal de $A$ (posiblemente, $I=\left\{0\right\}$. Vamos a escribir $\mathbf{1}$ para la unidad de $A$ (si existe).

Pregunta. Deje $A$ ser un unital conmutativa Álgebra de Banach y $I$ un ideal maximal de a $A$. Demostrar que $I$ es la máxima subespacio de $A$. Es este resultado sigue siendo válido si $A$ no es de Banach o conmutativa o unital?

La primera parte es bastante fácil: Máxima ideales son de la forma $\ker\tau$ para algunos caracteres $\tau:A\to\mathbb{C}$, y, a continuación,$A=\ker\tau+\mathbb{C}\mathbf{1}$, lo $\ker\tau$ es una máxima en el subespacio.

Si $A$ no es conmutativa, tenemos un contra-ejemplo: El álgebra $M_2(\mathbb{C})$ es simple, por lo que el único ideal maximal de a$M_2(\mathbb{C})$$\left\{0\right\}$, que no es una máxima en el subespacio.

Yo no podía resolver el resto de la pregunta: Si $A$ es de Banach y conmutativa, pero no unital, que tal vez podría considerar su unificación y asociar a los máximos ideales de la $A$$\widetilde{A}$, pero yo no podía hacer eso.

El único ejemplo de la conmutativa, unital, no Banach normativa de álgebra que se me ocurre es $\mathbb{C}[x]$, el polinomio de álgebra en una variable (con cualquiera de las normas usuales), pero la única máxima de los ideales de la $\mathbb{C}[x]$ son de la forma$p(x)\mathbb{C}[x]$$\operatorname{degree}(p)=1$, y estos son máximas subespacios.

Las sugerencias se agradece. Gracias.

Answer 1

Por supuesto, el resultado no es válido si dejamos caer conmutatividad. Por ejemplo, el álgebra de todos los operadores acotados en $\ell_2$ puede servir como un contraejemplo.

Sobre tener una unidad,

Máxima ideales de Banach conmutativa álgebras de tener codimension uno.

Aquí está una prueba en un extra suposición de que un ideal maximal es cerrado.

De acuerdo a Gamelin

Th. Gamelin, Uniforme De Álgebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1969.

p. 22, cerrado máxima no-modulares ideales son, precisamente, los subespacios de codimension 1 que contienen la lineal lapso de todos los $xy$ donde $x,y\in A$ (let us denotar este conjunto por $A\cdot A$). De hecho, una adecuada cerrado ideal $J$ es modular si y sólo si $A\cdot A\not\subseteq J$. Tenga en cuenta que cualquier subespacio $M$ contiene $A\cdot A$ es un ideal, por lo $M$ es un cerrado ideal maximal si y sólo si tiene codimension 1. Desde la máxima modulares ideales son los núcleos de caracteres que el resultado de la siguiente manera.

En el caso de que $M$ no está cerrado. (Edición 19.08.2014) H. Garth Dales, basándose en algunas observaciones a partir de esta discusión se las arregló para responder a la pregunta en el otro caso donde la máxima ideal no está cerrado. Él amablemente subido su respuesta a la arXiv, así que usted puede encontrar aquí.

No completar álgebras. Existen no completa, conmutativa y unital normativa álgebras con la máxima ideales tener una infinita codimension, aunque. Por ejemplo, el álgebra de todos totalidad de funciones en el plano complejo dotado de la sup norma en el cerrado de la unidad de disco es un ejemplo. (He aprendido este ejemplo de H. G. Valles.) Para ver esto, dotar a esta álgebra (no normable) topología mediante la especificación de una familia de semi-normas:

$$p_r(f) = \sup_{|z|\leqslant r}|f(z)|\;\;\;(r>0).$$

Ahora, tome el ideal $$J = \{f\mbox{ entire}\colon (\exists{n_0\in \mathbb{N}})(\forall n\geqslant n_0) (f(n)=0)\}.$$ This is a proper ideal not contained in the kernel of any point evaluation. One can prove that kernels of point evaluations are the only maximal ideals which are closed in this topology. Since this algebra is unital, $J$ has to be contained in some dense maximal ideal $M$. Consequently, $M$ tiene una infinidad de codimension.