Es la función de $d(x,y) = \frac{\|x-y\|}{\|x\|\|y\|}$ una métrica?

Question

$d$ está definido para todos los $x,y \in \mathbb{R}^2 - \{0\}$.

Es claro que $d(x,y) = 0 \iff x=y$ $d(x,y)=d(y,x)$

Estoy teniendo problemas con el triángulo de la desigualdad. No podía encontrar un contraejemplo para que el triángulo de la desigualdad no tiene. Así que traté de demostrarlo.

Lo que tengo hasta ahora es: $$d(x,z) = \frac{\|x-z\|}{\|x\|\|z\|} \leq \frac{\|x-y\|}{\|x\|\|z\|} + \frac{\|y-z\|}{\|x\|\|z\|} $$

Estoy atascado aquí. Les agradezco si me pudieran dar algunos consejos.

Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Identificar el conjunto de vectores no nulos en $\Reals^{2}$ con el conjunto de no-cero complejo de números. La norma Euclídea se corresponde con el módulo complejo, así que si $x$ $y$ no son cero, entonces $$ \frac{\|x - y\|}{\|x\|\, \|s\|} = \left\|\frac{x - y}{xy}\right\| = \left\|\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right\|. $$ Es decir, $d$ corresponde a la ordinaria de la distancia Euclídea después de un bijection (el complejo de reciprocidad mapa), y por lo tanto satisface la desigualdad de triángulo.