¿ZFC probar una frase en el lenguaje de la aritmética que PA+Con(ZFC) no se puede demostrar?

Question

Suponga que ZFC es consistente.

Entonces es claro que PA+Con(ZFC) demuestra una frase cuya traducción no puede ser probado por ZFC (es decir, que ZFC es consistente).

¿ZFC probar una frase en el idioma (relativizada a $\omega$) de la aritmética que PA+Con(ZFC) no se puede demostrar? Supongo que "sí".

Answer 1

Sí, por supuesto. Un ejemplo es la declaración de que todos los Goodstein secuencias de terminar. El punto es que esta frase no sólo es independiente de $\mathsf{PA}$, pero en el hecho de que la teoría resultante de añadir a $\mathsf{PA}$ $\Pi^0_1$ declaraciones verdaderas en el modelo estándar de la aritmética. Tenga en cuenta que $\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})$ es un ejemplo de este tipo de $\Pi^0_1$ declaración.

Que el teorema de Goodstein tiene esta propiedad se sigue de que el estándar de prueba de su independencia mediante el método de los indicadores: se comienza con un modelo no estándar de $\mathsf{PA}$; el argumento produce un segmento inicial $I$ que satisface $\mathsf{PA}$ pero donde Goodstein del teorema de falla. Comenzando con un modelo de verdadera aritmética, el segmento de $I$ puede ser arreglada para satisfacer no sólo a $\mathsf{PA}$, pero el verdadero $\Pi^0_1$ teoría. Una buena referencia es el libro

Petr Hájek, y Pavel Pudlák. Metamathematics de Primer Orden Aritmético, 2ª impresión, Perspectivas en la Lógica Matemática, Volumen 3, Berlin: Springer-Verlag, 1998. MR1219738 (94d:03001).

(Usted puede encontrar esta relacionada con la respuesta de algún interés.)

Va más allá: el teorema de Goodstein es $\Pi^0_2$. La adición de todos los verdaderos $\Pi^0_2$ declaraciones a $\mathsf{PA}$ no prueba que todos los verdaderos $\Pi^0_3$ declaraciones. Etc. Y $\mathsf{ZFC}$ es lo suficientemente fuerte como para verificar todo esto.