Partición de la Unidad en la Spivak del Cálculo de los Colectores

Question

Tengo una pregunta acerca de las particiones de la unidad, específicamente en el libro de Cálculo de los Colectores por Spivak. En el caso 1 para la prueba de la existencia de particiones de la unidad, ¿por qué hay una necesidad de que la función de $f$? El conjunto $\Phi = \{\varphi_1, \dotsc, \varphi_n\}$ se ve como es ya la partición de la unidad. El siguiente es el teorema y la prueba. Sólo en el Caso 1 en la prueba de ello es relevante.

Answer 1

Creo que su afirmación es correcta. Las funciones de $\varphi_{i}$ cumplir todas las condiciones del Teorema de 3-11. No veo por qué Spivak, utiliza un $f$. Especialmente desde que el apoyo de $f$ contiene $A$. Si al menos el apoyo de $f$ mentido en $A$$f=\sum_{i=1}^{n}f\cdot\varphi_{i}$, dando así una representación de $f$ como una suma de funciones con pequeños apoyos.

Desde $A$ es compacto, podemos asumir WLOG que el $U_{i}$ son acotados. Por lo tanto, por construcción, los soportes de la $\psi_{i}$ son compactos. Por lo tanto, la palabra "cerrado" en el punto ($4$) del Teorema 3-11 puede ser cambiado a "compacto". La prueba se mantiene sin cambios. Esto ayuda a aclarar la primera declaración de la demostración del Teorema 3 a 12 años.

También, tenga en cuenta también que las funciones $\varphi_{i}$$C^{\infty}$. Básicamente, esto se sigue de Problema 2-26.

Posts relacionados con a la sección:

1. Una aplicación de particiones de la unidad, de la integración a través de conjuntos y aquí

2. Qué necesitamos supuestos adicionales para el problema de la 3-37 (b) en Spivaks cálculo de los Colectores?

3. Problema 3-38 en Spivaks Cálculo de los Colectores

4. Extendido integral en Spivak del Cálculo de los Colectores