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Hace trayectoria-conectado implica camino simple conectado?

Deje XX ser una ruta conectada espacio topológico, es decir, para cualesquiera dos puntos a a,bXa,bX no es un mapa continuo γ:[0,1]Xγ:[0,1]X tal que γ(0)=aγ(0)=aγ(1)=bγ(1)=b. Tenga en cuenta que más allá de la continuidad de poco es necesaria acerca de los γγ.

Siempre es posible hacer γγ un simple (=inyectiva) de la curva? (Por supuesto, sólo tenemos en cuenta el caso de abab). Si la respuesta depende de aXX, ¿cuáles son algunas leves las condiciones suficientes en XX?

Si XX es lo suficientemente agradable, por ejemplo, un subconjunto abierto de Rn, la respuesta es "sí"; de forma más general, lo que uno llamaría "localmente simplepath-conectado" es suficiente (el conjunto de puntos que se puede acceder desde aX por una curva simple es a la vez abierto y cerrado). También, para arbitrario X es claro que una sola instancia de auto-cruce puede ser más corto. Pero para un número infinito de posibles atajos, la situación puede convertirse en algo peludo, me temo.

EDIT: Para evitar Mike Miller's contraejemplo (topología indiscreta en X|X|<|R|), vamos al menos suponemos que X es de Hausdorff. En cualquier caso, |X||R| es una necesaria condición - todavía estoy buscando "tan suave como sea posible" suficientes condiciones ...

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Hagen von Eitzen Puntos 171160

Siguiendo la sugerencia dada por mathcounterexamples.neta, me permito publicar una comunidad wiki de traducción (y reformulación y elaboración) de un comentario por JLT en un webblog por Pierre Bernard:

Lema 1. Deje Y ser perfecto (=sin puntos aislados) espacio métrico compacto. Entonces existe una difusa medida de probabilidad en Y.

Prueba. Es sabido que se Y contiene un subespacio homeomórficos para el conjunto de Cantor C. Por otra parte, la medida de Lebesgue en [0,1], que se transportan a C a través del mapa de ak2kak3k (donde 0.a1a2 es la representación binaria de x[0,1)) es un difuso de probabilidad, medida en C y por lo tanto nos proporciona una difusa probabilidad de medida en Y.

Lema 2. Deje Y ser un compacto, ideal subconjunto de un espacio métrico. Entonces existe una difusa medida de probabilidad en Y con el apoyo Y.

Prueba. Para cada n, Y pueden ser cubiertos por un número finito N(n) abierto bolas B(xn,i,1n), 1iN(n), de radio de 1n. Deje Yn,i=Y¯B(xn,i,1n). El Yn,i son perfectos compacto métrica espacios, por tanto, por el lema 1, existe una difusa probabilidad de medida μn,iYn,i. Entonces μ(A):=n=1N(n)i=112nN(n)μn,i(AYn,i) es un difuso de probabilidad, medida en Y. Su apoyo se cruza cada una de las Yn,i por lo tanto, contiene todos los de Y. Por otro lado, el apoyo está contenido en la unión de todos los Yn,i, la cual está contenida en Y.

Recordar que cualquier conjunto abierto U(0,1) puede ser escrito como la desunión de la unión de countably muchas de intervalos, U=iN(ai,bi)NN.

Definición. Deje f:[0,1]X ser una curva. Deje U=iN(ai,bi)[0,1] un conjunto abierto. Decimos que U f-shortcutable si f(ai)=f(bi) todos los iN.

Lema 3. Deje f:[0,1]X ser una curva con X Hausdorff. Deje (ai,bi)iI ser una cadena (con respecto a ) f- shortcutable intervalos. A continuación, iIUi f- shortcutable.

Prueba. Tenemos iIUi=(a,b) con a=infai, b=supbi. Suponga f(a)f(b) y dejar Va, Vb ser abierto de los barrios de la separación de ab. Luego de algunos ϵ>0, [a,a+ϵ)f1(Va) y (bϵ,b]f1(Vb). Encontrar i,jI con ai[a,a+ϵ), bj(bϵ,b]. Por propiedad de la cadena, ajai o bibj. En el primer caso f(aj)=f(bj)VaVb, en el segundo caso f(bi)=f(ai)VaVb, contradicción. Por lo tanto f(a)=f(b) (a,b) f- shortcutable.

Lema 4. Deje f:[0,1]X ser una curva con X Hausdorff. Deje {Ui}iI ser una cadena (con respecto a ) f- shortcutable abrir los subconjuntos de a (0,1). A continuación, iIUi f- shortcutable.

Prueba. Los componentes conectados de la unión de intervalos abiertos. Considere la posibilidad de un tal componente (a,b) y un punto de c(a,b). Para iI deje Vi ser el componente de Ui contiene c o Vi= si cUi. A continuación, el Vi son una cadena de f-shortcutable intervalos. Por el lema 3, su unión es una f-shortcutable intervalo de (a,b)(a,b). Si a>a, aiUi algunos i y por la apertura [a,a+ϵ)Ui esto i. Como a+ϵ2Vj algunos j, llegamos a la conclusión de que [a,a+ϵ)VjUk algunos k{i,j}, lo que implica a(a,b), contradicción. Llegamos a la conclusión de a=a. Del mismo modo, b=b.

Teorema. Cada trayectoria-conectado espacio de Hausdorff es simplepath-conectado.

Prueba. Deje X ser un espacio de Hausdorff y f:[0,1]X a un camino con f(0)f(1). El conjunto de f-shortcutable abrir los subconjuntos de a (0,1) es no vacío (contiene ) y es inductivamente ordenado según el lema 4. Por el lema de Zorn, existe un máximo de f-shortcutable UM. Como anteriormente escribir como distinto de la unión de intervalos abiertos UM=iN(ai,bi) y, a continuación, definir xyx=yiN:{x,y}[ai,bi]. Esta es una relación de equivalencia, donde la transitividad de la siguiente manera a partir de maximality de UM: Suponga xyyz, decir {x,y}[ai,bi]{y,z}[aj,bj]. Si ij (ai,bi)(aj,bj)= llegamos a la conclusión de y{ai,bi}{aj,bj} (y specificylly yUM); pero, a continuación,f(ai)=f(bi)=f(aj)=f(bj), de modo que UM{y}=UM(min{ai,aj},max{bi,bj}) f- shortcutable, contradiciendo maximality. Por lo tanto i=j y claramente xz.

Deje J=[0,1]/. Entonces podemos definir un mapa de g:JX dejando g([t]):=f(inf[t])=f(sup[t]). Esta g es inyectiva y continua. El teorema de la siguiente manera, si podemos demostrar que J[0,1]. Al ser un cociente de el compacto de Hausdorff espacio de [0,1], el espacio de J es también compacto de Hausdorff. Deje Y0=[0,1]UM. A continuación, Y0 es compacto y no tiene puntos aislados, excepto posiblemente 0 y/o 1. Deje Y Y0 menos sus (dos) puntos aislados (en otras palabras, Y=¯(0,1)UM). Por el lema 2, existe una difusa probabilidad de medida μ [0,1] con el apoyo Y. Considere la posibilidad de h:[0,1][0,1], xμ([0,x]). Este es un mapa con h(0)=0h(1)=1; es continua debido a μ es difusa. Por otra parte, para x<y h(x)=h(y)μ(]x,y[)=0]x,y[supp(μ)=]x,y[Y=]x,y[Y0=]x,y[UMxy En consecuencia, h factores J, mostrando así J[0,1].


Comentario: La parte en la que el homeomorphism J[0,1] se muestra permite una alternativa a prueba, que no implique la medida en la teoría de los lemas 1 y 2: Podemos definir un orden en J dejando [x]<[y]x<y, lo cual está bien definido ya que las clases de equivalencia son, de hecho, no la superposición de intervalos cerrados. La topología del espacio cociente J es el orden de la topología inducida por este orden, ya que es el caso de [0,1]. También, J es divisible porque [0,1] es. J es completa: Si AJ es no vacío y acotado de arriba por [x]J, entonces tiene al menos un límite superior; de hecho, la preimagen de A [0,1] tiene al menos un límite superior yx y, a continuación, [y] es un mínimo límite superior para A. Lo mismo va para los límites inferiores. El orden también es densa como para [x]<[y] nos encontramos con [x]<[z]<[y]z=sup[x]+inf[y]2, de nuevo debido a que las clases de equivalencia son intervalos cerrados. En particular, J no consiste sólo en los extremos de [0][1], de modo que J{[0],[1]} es un vacío, separables, completa, denso, sin fin total de la orden y por lo tanto isomorfo a R. Volver a agregar los dos extremos y llegamos a [0,1] como se desee.

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