Hace trayectoria-conectado implica camino simple conectado?

Question

Deje $X$ ser una ruta conectada espacio topológico, es decir, para cualesquiera dos puntos a $a,b\in X$ no es un mapa continuo $\gamma\colon[0,1]\to X$ tal que $\gamma(0)=a$$\gamma(1)=b$. Tenga en cuenta que más allá de la continuidad de poco es necesaria acerca de los $\gamma$.

Siempre es posible hacer $\gamma$ un simple (=inyectiva) de la curva? (Por supuesto, sólo tenemos en cuenta el caso de $a\ne b$). Si la respuesta depende de a$X$, ¿cuáles son algunas leves las condiciones suficientes en $X$?

Si $X$ es lo suficientemente agradable, por ejemplo, un subconjunto abierto de $\Bbb R^n$, la respuesta es "sí"; de forma más general, lo que uno llamaría "localmente simplepath-conectado" es suficiente (el conjunto de puntos que se puede acceder desde $a\in X$ por una curva simple es a la vez abierto y cerrado). También, para arbitrario $X$ es claro que una sola instancia de auto-cruce puede ser más corto. Pero para un número infinito de posibles atajos, la situación puede convertirse en algo peludo, me temo.

EDIT: Para evitar Mike Miller's contraejemplo (topología indiscreta en $X$$|X|<|\Bbb R|$), vamos al menos suponemos que $X$ es de Hausdorff. En cualquier caso, $|X|\ge|\Bbb R|$ es una necesaria condición - todavía estoy buscando "tan suave como sea posible" suficientes condiciones ...

Answer 1

Siguiendo la sugerencia dada por mathcounterexamples.neta, me permito publicar una comunidad wiki de traducción (y reformulación y elaboración) de un comentario por JLT en un webblog por Pierre Bernard:

Lema 1. Deje $Y$ ser perfecto (=sin puntos aislados) espacio métrico compacto. Entonces existe una difusa medida de probabilidad en $Y$.

Prueba. Es sabido que se $Y$ contiene un subespacio homeomórficos para el conjunto de Cantor $C$. Por otra parte, la medida de Lebesgue en $[0,1]$, que se transportan a $C$ a través del mapa de $\sum a_k2^{-k}\mapsto \sum a_k3^{-k}$ (donde $0.a_1a_2\ldots$ es la representación binaria de $x\in[0,1)$) es un difuso de probabilidad, medida en $C$ y por lo tanto nos proporciona una difusa probabilidad de medida en $Y$. $_\square$

Lema 2. Deje $Y$ ser un compacto, ideal subconjunto de un espacio métrico. Entonces existe una difusa medida de probabilidad en $Y$ con el apoyo $Y$.

Prueba. Para cada $n$, $Y$ pueden ser cubiertos por un número finito $N(n)$ abierto bolas $B(x_{n,i},\frac1n)$, $1\le i\le N(n)$, de radio de $\frac1n$. Deje $Y_{n,i}=Y\cap\overline{B(x_{n,i},\frac1n)}$. El $Y_{n,i}$ son perfectos compacto métrica espacios, por tanto, por el lema 1, existe una difusa probabilidad de medida $\mu_{n,i}$$Y_{n,i}$. Entonces $$\mu(A):=\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=1}^{N(n)}\frac1{2^nN(n)}\mu_{n,i}(A\cap Y_{n,i})$$ es un difuso de probabilidad, medida en $Y$. Su apoyo se cruza cada una de las $Y_{n,i}$ por lo tanto, contiene todos los de $Y$. Por otro lado, el apoyo está contenido en la unión de todos los $Y_{n,i}$, la cual está contenida en $Y$. $_\square$

Recordar que cualquier conjunto abierto $U\subseteq(0,1)$ puede ser escrito como la desunión de la unión de countably muchas de intervalos, $U=\bigsqcup_{i\in N}(a_i,b_i)$$N\subseteq\Bbb N$.

Definición. Deje $f\colon [0,1]\to X$ ser una curva. Deje $U=\bigsqcup_{i\in N}(a_i,b_i)\subset [0,1]$ un conjunto abierto. Decimos que $U$ $f$-shortcutable si $f(a_i)=f(b_i)$ todos los $i\in N$.

Lema 3. Deje $f\colon [0,1]\to X$ ser una curva con $X$ Hausdorff. Deje ${(a_i,b_i)}_{i\in I}$ ser una cadena (con respecto a $\subseteq$) $f$- shortcutable intervalos. A continuación, $\bigcup_{i\in I}U_i$ $f$- shortcutable.

Prueba. Tenemos $\bigcup_{i\in I}U_i=(a,b)$ con $a=\inf a_i$, $b=\sup b_i$. Suponga $f(a)\ne f(b)$ y dejar $V_a$, $V_b$ ser abierto de los barrios de la separación de $a$$b$. Luego de algunos $\epsilon>0$, $[a,a+\epsilon)\subseteq f^{-1}(V_a)$ y $(b-\epsilon,b]\subseteq f^{-1}(V_b)$. Encontrar $i,j\in I$ con $a_i\in [a,a+\epsilon)$, $b_j\in(b-\epsilon,b]$. Por propiedad de la cadena, $a_j\le a_i$ o $b_i\ge b_j$. En el primer caso $f(a_j)=f(b_j)\in V_a\cap V_b$, en el segundo caso $f(b_i)=f(a_i)\in V_a\cap V_b$, contradicción. Por lo tanto $f(a)=f(b)$ $(a,b)$ $f$- shortcutable. $_\square$

Lema 4. Deje $f\colon [0,1]\to X$ ser una curva con $X$ Hausdorff. Deje $\{U_i\}_{i\in I}$ ser una cadena (con respecto a $\subseteq$) $f$- shortcutable abrir los subconjuntos de a $(0,1)$. A continuación, $\bigcup_{i\in I}U_i$ $f$- shortcutable.

Prueba. Los componentes conectados de la unión de intervalos abiertos. Considere la posibilidad de un tal componente $(a,b)$ y un punto de $c\in(a,b)$. Para $i\in I$ deje $V_i$ ser el componente de $U_i$ contiene $c$ o $V_i=\emptyset$ si $c\notin U_i$. A continuación, el $V_i$ son una cadena de $f$-shortcutable intervalos. Por el lema 3, su unión es una $f$-shortcutable intervalo de $(a',b')\subseteq (a,b)$. Si $a'> a$, $a_i\in U_i$ algunos $i$ y por la apertura $[a',a'+\epsilon)\subseteq U_i$ esto $i$. Como $a'+\frac\epsilon2\in V_j$ algunos $j$, llegamos a la conclusión de que $[a',a'+\epsilon)\cup V_j\subseteq U_k$ algunos $k\in\{i,j\}$, lo que implica $a'\in(a',b')$, contradicción. Llegamos a la conclusión de $a'=a$. Del mismo modo, $b'=b$. $_\square$

Teorema. Cada trayectoria-conectado espacio de Hausdorff es simplepath-conectado.

Prueba. Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff y $f\colon [0,1]\to X$ a un camino con $f(0)\ne f(1)$. El conjunto de $f$-shortcutable abrir los subconjuntos de a $(0,1)$ es no vacío (contiene $\emptyset$) y es inductivamente ordenado según el lema 4. Por el lema de Zorn, existe un máximo de $f$-shortcutable $U_M$. Como anteriormente escribir como distinto de la unión de intervalos abiertos $$U_M=\bigsqcup_{i\in N}(a_i,b_i)$$ y, a continuación, definir $$x\sim y\iff x=y\lor\exists i\in N\colon \{x,y\}\subset [a_i,b_i].$$ Esta es una relación de equivalencia, donde la transitividad de la siguiente manera a partir de maximality de $U_M$: Suponga $x\sim y$$y\sim z$, decir $\{x,y\}\in[a_i,b_i]$$\{y,z\}\in[a_j,b_j]$. Si $i\ne j$ $(a_i,b_i)\cap (a_j,b_j)=\emptyset$ llegamos a la conclusión de $y\in\{a_i,b_i\}\cap\{a_j,b_j\}$ (y specificylly $y\notin U_M$); pero, a continuación,$f(a_i)=f(b_i)=f(a_j)=f(b_j)$, de modo que $U_M\cup\{y\}=U_M\cup(\min\{a_i,a_j\},\max\{b_i,b_j\})$ $f$- shortcutable, contradiciendo maximality. Por lo tanto $i=j$ y claramente $x\sim z$.

Deje $J=[0,1]/{\sim}$. Entonces podemos definir un mapa de $g\colon J\to X$ dejando $g([t]):=f(\inf [t])=f(\sup[t])$. Esta $g$ es inyectiva y continua. El teorema de la siguiente manera, si podemos demostrar que $J\approx [0,1]$. Al ser un cociente de el compacto de Hausdorff espacio de $[0,1]$, el espacio de $J$ es también compacto de Hausdorff. Deje $Y_0=[0,1]\setminus U_M$. A continuación, $Y_0$ es compacto y no tiene puntos aislados, excepto posiblemente $0$ y/o $1$. Deje $Y$ $Y_0$ menos sus (dos) puntos aislados (en otras palabras, $Y=\overline{(0,1)\setminus U_M}$). Por el lema 2, existe una difusa probabilidad de medida $\mu$ $[0,1]$ con el apoyo $Y$. Considere la posibilidad de $h\colon[0,1]\to [0,1]$, $x\mapsto \mu([0,x])$. Este es un mapa con $h(0)=0$$h(1)=1$; es continua debido a $\mu$ es difusa. Por otra parte, para $x<y$ $$\begin{align}h(x)=h(y)&\iff \mu(\left]x,y\right[)=0 \\ &\iff\left]x,y\right[\cap\operatorname{supp}(\mu)=\emptyset\\ &\iff \left]x,y\right[\cap Y=\emptyset\\ &\iff \left]x,y\right[\cap Y_0=\emptyset\\ &\iff \left]x,y\right[\subseteq U_M\\ &\iff x\sim y \end{align}$$ En consecuencia, $h$ factores $J$, mostrando así $J\approx [0,1]$. $_\square$

---

Comentario: La parte en la que el homeomorphism $J\approx [0,1]$ se muestra permite una alternativa a prueba, que no implique la medida en la teoría de los lemas 1 y 2: Podemos definir un orden en $J$ dejando $[x]<[y]\iff x<y$, lo cual está bien definido ya que las clases de equivalencia son, de hecho, no la superposición de intervalos cerrados. La topología del espacio cociente $J$ es el orden de la topología inducida por este orden, ya que es el caso de $[0,1]$. También, $J$ es divisible porque $[0,1]$ es. $J$ es completa: Si $A\subset J$ es no vacío y acotado de arriba por $[x]\in J$, entonces tiene al menos un límite superior; de hecho, la preimagen de $A$ $[0,1]$ tiene al menos un límite superior $y\le x$ y, a continuación, $[y]$ es un mínimo límite superior para $A$. Lo mismo va para los límites inferiores. El orden también es densa como para $[x]<[y]$ nos encontramos con $[x]<[z]<[y]$$z=\frac{\sup [x]+\inf[y]}2$, de nuevo debido a que las clases de equivalencia son intervalos cerrados. En particular, $J$ no consiste sólo en los extremos de $[0]$$[1]$, de modo que $J\setminus\{[0],[1]\}$ es un vacío, separables, completa, denso, sin fin total de la orden y por lo tanto isomorfo a $\Bbb R$. Volver a agregar los dos extremos y llegamos a $[0,1]$ como se desee.