¿Cuál es la explicación intuitiva de la fibración de Hopf y de la fibración de Hopf retorcida?

Question

Como sugiere la pregunta, ¿cuál es la explicación intuitiva de la fibración de Hopf y de la fibración de Hopf retorcida? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Nunca he oído hablar de esta última, pero permítanme intentar dar alguna descripción de la primera. Podemos identificar $\Bbb R^{2n}$ con $\Bbb C^{n}$ . Para cualquier elemento $\gamma \in \Bbb C^{n}-0$ podemos asociar la única línea compleja entre el origen y $\gamma$ que es sólo el $\Bbb C$ múltiplos de $\gamma$ , $\Bbb C\gamma =\{z\gamma:z\in \Bbb C\}$ . Podemos dar el conjunto de líneas complejas en $\Bbb C^n$ una estructura topológica (así como una estructura suave, una estructura compleja, una estructura simpléctica, etc.), y llamamos a este espacio $\Bbb CP^{n-1}$ . El mapa de Hopf $H$ es simplemente el mapa $S^{2n-1}\to \Bbb CP^{n-1}$ que toma el punto $\gamma$ a la línea $\Bbb C\gamma$ .

Se puede comprobar fácilmente que, dado que cada línea compleja (un 2-plano real en $\Bbb R^{2n}$ ) se cruza con $S^{2n-1}$ en un círculo, por lo que la inversa de un punto es siempre un círculo en $S^{2n-1}$ .

Para $n=2$ Esto es especialmente interesante porque $\Bbb CP^1$ es homeomorfo (difeomorfo, biholomorfo, simplectomorfo, etc.) a $S^2$ . Además, en $S^3$ podríamos formar enlaces interesantes a partir de diferentes puntos inversos.

Consideremos el ejemplo en el que $\gamma_1=(1,0) \in \Bbb C^2$ y $\gamma_2=(0,1) \in \Bbb C^2$ y encontremos el enlace de 2 componentes dado por $H^{-1}(\Bbb C\gamma_1) \cup H^{-1}(\Bbb C\gamma_2)$ . $H^{-1}(\Bbb C\gamma_1)=\{(x,y) \in \Bbb C^2: \ |x|+|y|=1,y=0 \}$ que limita el disco $D(\gamma_1)=\{(x,y)\in \Bbb C^2 : |x|\leq 1, y= \sqrt {1-|x|^2}\}$ . Del mismo modo, $H^{-1}(\Bbb C\gamma_2)$ limita el disco $D(\gamma_2)=\{(x,y)\in \Bbb C^2 : |y|\leq 1, x= \sqrt {1-|y|^2}\}$ . En $S^3$ estos discos se cruzan transversalmente a lo largo del arco $\{(x,y) \in \Bbb R^2 \subset \Bbb C^2: x\geq 0, y=\sqrt{1-x^2}\} $ . En realidad sólo hay un enlace de 2 componentes (hasta la isotopía) en $S^3$ donde cada uno de los componentes son eslabones y los discos que limitan estos eslabones pueden disponerse para que se crucen a lo largo de un único arco transversalmente (digamos que por la unicidad del meridiano de un nudo). Ese eslabón es el eslabón de Hopf que se muestra a continuación.

Answer 2

Paquetes circulares $E \mapsto S^2$ están indexados por su clase Euler, un elemento de $H_2(S^2;\mathbb{Z}) \approx \mathbb{Z}$ . Se puede caracterizar este entero utilizando la teoría de la obstrucción, como la obstrucción a la existencia de una sección del mapa del haz $E \mapsto S^2$ .

"La fibración de Hopf es (hasta la equivalencia del haz orientado) el haz circular de clase Euler $+1$ .

El haz de círculos de clase Euler $0$ es simplemente el mapa de proyección a $S^2$ del producto cartesiano $E = S^2 \times S^1$ . En general, el espacio total del haz de círculos de clase Euler $n$ es el espacio Lens $L(n,1)$ (gracias a @PVAL-inactive por esta corrección)). Creo (el OP podría querer confirmar que esta es la intención de la pregunta) que estas son las "fibraciones de Hopf retorcidas". Por lo tanto, al igual que para la propia fibración de Hopf (como se explica en la respuesta de PVAL), uno podría ser capaz de visualizar la clase de Euler en cada uno de estos casos como el número de enlace en el espacio total $L(n,1)$ de las fibras sobre dos puntos del espacio base $S^2$ .