Existen $x_{1},x_{2},\cdots,x_{k}$ estos dos desigualdades $|x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}|\ge 1$

Question

Edit: Este problema 1 es un 2014 de Sydney concurso de matemáticas problema (8º grado). Parece difícil de resolver.

Demostrar que:

Existen números complejos $x_{1},x_{2},\cdots,x_{k}(k\ge 2)$ tal forma que: $$\begin{cases} |x^2_{1}+x^2_{2}+\cdots+x^2_{m}|\le\frac{1}{2} \text{ for all } m \le k\\ |x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}|\ge 1. \end{casos}$$

Answer 1

Deje $x_i=\frac{1}{k}$$i=1$$k$. A continuación, tanto las desigualdades de espera.

Answer 2

Para $k=1,$ no hay solución como $|x_1|\ge 1 \Rightarrow |x_1^2|\ge1.$

Para $k\ge 2,$ $x_j=(-i)^j\frac{-i}{\sqrt2}$ todos los $j.$ Ahora vamos a $S_m=|x^2_1+\cdots+x^2_m|.$ una $m,$ debe quedar claro que $S_m=0.$ Por un extraño $m,$ tenemos $S_m=|\frac12|=\frac12.$

Ahora vamos a $T_k=|x_1+\cdots+x_k|.$ Si $k>1$ a continuación, teniendo en cuenta que $|x_1+x_2|=1$ obtenemos $T_{2k}=|k(x_1+x_2)|=k$ $T_{2k+1}=|k(x_1+x_2)+\frac1{\sqrt 2}|\ge k.$ El resultado de la siguiente manera.