Existencia de ideales primos en anillos sin identidad

Question

Sea $R$ un anillo conmutativo (que no necesariamente contiene $1$). Digamos que $R$ es el anillo trivial si tiene una multiplicación trivial (cero). Si $R$ es el anillo trivial, entonces $R$ no tiene ideales primos (ya que cualquier ideal contiene $0$, por lo tanto el cuadrado de cada elemento). ¿Es cierto lo contrario, es decir,

si $R$ no es el anillo trivial, ¿necesariamente tiene un ideal primo?

Si $R$ tiene una unidad 1, entonces $R$ tiene un ideal maximal, que necesariamente es primo. Sin embargo, si $R$ no tiene un 1, entonces los ideales maximales no necesariamente existen, e incluso si existen, no necesariamente son primos (de hecho, un ideal $I \subseteq R$ es un ideal maximal no primo si y solo si $R/I$ es el anillo trivial de orden $p$, para algún primo $p \in \mathbb{Z}$). Entonces, a primera vista, considerar ideales maximales no parece ser de gran ayuda...

Answer 1

Tomemos $R=2\mathbb Z/8\mathbb Z$. Este anillo no tiene ideales primos y la multiplicación claramente no es trivial.

Dado que el OP tomó otro camino, me gustaría añadir una generalización del ejemplo anterior: tomemos $R=d\mathbb Z/n\mathbb Z$ con $d\mid n$, y $m=n/d$. Los ideales primos de $R$ son de la forma $pd\mathbb Z/n\mathbb Z$ con $p$ primo, $p\mid m$ y $p\not\mid d$. Ahora es fácil dar ejemplos de tales anillos sin ideales primos.

Answer 2

Extendiendo el ejemplo de YACP, tenemos la siguiente clase general de ejemplos:

Sea $R$ un anillo conmutativo con 1, $p$ un ideal primo, $I$ cualquier ideal que cumpla $p^2 \not \subset pI$ y $V(I) \cap \operatorname{Spec}(R_p) \subset \{p\}$ (considerando que $\operatorname{Spec}(R_p) \subseteq \operatorname{Spec} R$). Entonces considerar a $S := p/pI$ como un anillo sin unidad da un ejemplo de un anillo no trivial sin ideales primos (siempre y cuando $p$ no tenga idempotentes módulo $pI$).

Para ver por qué, nota que $p^2 \not \subset pI$ es equivalente a decir que la multiplicación en $S$ no es trivial. Ahora, cualquier ideal primo de $S$ debe provenir de un ideal primo de $R$, contenido en $p$ y que contiene a $pI$. Por la suposición sobre $V(I)$, el único primo posible es $p$ mismo, que no es un ideal propio en $S, por lo que$S$ no tiene primos.

Como ejemplo, tomando $I = p^n$, para $n \geq 2$ (nota: ¡$n = 1$ nunca funciona!), se satisfacen las condiciones anteriores (siempre que $p^2 \not \subseteq p^3$, por ejemplo $p^2 \neq 0$ es finitamente generado). Esto recupera el ejemplo de YACP con $R = \mathbb{Z}$, $p = 2\mathbb{Z}$, $n = 2.

Observa que $2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ no es un ejemplo: el elemento $4$ actúa como un 1. Entonces, la suposición de que $p$ no tiene idempotentes módulo $pI$ no es una afirmación vacía. Sin embargo, parece cumplirse cuando $I = p^n$ y $R$ es noetheriano, por ejemplo, posiblemente considerando el orden en un anillo local (la potencia más grande del ideal maximal en la que yace un elemento) - ¿alguien puede proporcionar una prueba de esto?

Edición: Supongamos que $R$ tiene un ideal primo $p$, tal que $p/p^n$, $n \geq 3$, tiene un idempotente $x$. Reemplazando $R$ por $R_p$, podemos asumir que $p$ es maximal y $R$ es local. Entonces, $x^2 - x = x(x-1) \in p^n$, pero $1-x$ es una unidad en $R$ (ya que $x \in p$), así que $x \in p^n$, es decir, $x = 0$ en $p/p^n$. Entonces, el ejemplo $I = p^n$ sí funciona (sin hipótesis noetherianas).