Hay una manera fácil de ver la asociatividad o no la asociatividad de una operación de la mesa?

Question

La mayoría de las propiedades de una sola operación binaria se puede leer fácilmente a partir de la operación de la mesa. Por ejemplo, dada $$\begin{array}{c|ccccc} \cdot a & b & c & d & e\ \ \\hline a & e & d & b & c\\ b & d & c & e & b & \\ c & b & e & a & & c & d\\ d & a & b & c & d & e\\ e & c & un & d & e & b \end{array}$$ es fácil comprobar que está cerrada (no hay elementos se producen en la tabla que no ocurren como fila o columna de índice), conmutativa (la tabla es simétrica), tiene un elemento neutro (la fila y la columna de $d$ son copias del índice de fila/columna), y tiene una inversa elemento para cada elemento ($d$ en cada fila y columna). En otras palabras, casi todas las propiedades importantes de inmediato puede ser visto. La única parte que falta es la asociatividad.

Por lo tanto mi pregunta: ¿hay una manera sencilla de ver directamente desde la operación de la tabla (es decir, sin hacer explícita de todos los cálculos) si una operación es asociativa?

Answer 1

Has visto a la Luz de la asociatividad de la prueba? Según la Wikipedia, "verificación Directa de la asociatividad de una operación binaria especificado por una tabla de Cayley es engorroso y tedioso. La luz de la asociatividad de la prueba simplifica enormemente la tarea."

Si nada más, la existencia de la Luz del algoritmo parece descartar la posibilidad de que alguien sabe una manera fácil de hacerlo con sólo mirar el original de la tabla de Cayley.

Answer 2

Primero de todo, vamos a mi hacer una reflexión personal sobre este asunto. La luz de la asociatividad de la prueba (como otros han notado) proporciona una caracterización, pero (al menos desde mi punto de vista) no es realmente útil. De hecho, me gusta considerar esta dificultad para comprobar si una tabla es asociativa como la razón principal por la que es mejor introducir asociativo de las operaciones (en particular de los grupos) a través de las presentaciones. A continuación, trivialmente obtener la asociatividad desde su "objeto" es, por definición, un cociente de la libre.

Ahora, permítanme señalar que en el caso particular de que la operación es conmutativa (como el ejemplo que usted ha escrito), a continuación, se conoce un método alternativo que es asequible a hacer uso de un lápiz. Este (bastante desconocido en mi opinión) el método es debido a la S. KAMAL ABDALI y se introdujo en su papel de "Verificación de la Asociatividad de una Operación Binaria" http://www.jstor.org/stable/3613856

Nunca he visto este método se explica en un libro, así que vale la pena echar un vistazo a este documento (en caso de que usted puede ir a través de la editorial firewall).

Answer 3

Hay un algoritmo aleatorio de resolver este problema en el tiempo proporcional al tamaño de entrada. Específicamente, el tiempo de ejecución es de $O\a la izquierda(n^2 \log\frac1\delta\right)$ una $n \times n$ tabla y la probabilidad de error de $\delta$. Ver Rajagopalan y Schulman, los pabellones de conveniencia en 1996, SICOMP 2000. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539797325387

Descargar gratis aquí.

Answer 4

Si recuerdo correctamente, esto se explica en W. Keith Nicholson de la Introducción al Álgebra Abstracta. No tengo una copia conmigo en mi oficina, pero yo se compruebe cuando llego a casa.

Edit: creo que lo que se describe en el libro citado anteriormente es exactamente la Luz de la Asociatividad de la Prueba, el cual es mencionado en las otras respuestas.