Si $\,A^3-A+I=0,\,$ $A$ es invertible

Question

Probar o refutar. Si $A$ es una matriz cuadrada y $A^3-A+I=0,$ $A$ es invertible.

Es posible decir que el polinomio característico de a$A$$\,p(t)=t^3-t+1$, e $A$ es invertible desde $0$ no es un valor propio del polinomio característico?

Answer 1

Sugerencia. $$ A^3-A+I=0\quad\Longrightarrow\quad(I-A^2)=I. $$

Answer 2

Llame a $B= (-1)(A^2 - I)$, ahora$(-1)(A^2 - I)A=I$, por lo que usted ha $B$ como un lado inverso, en el otro lado también se $A(-1)(A^2-I) =I$.

Answer 3

Mira esto:

Desde

$A^3 - A+ I = 0, \tag{1}$

tenemos

$A(I - A^2) = (I - A^2)A = I. \tag{2}$

(2) muestra que

$A^{-1} = I - A^2, \tag{3}$

por lo $A$ es invertible.

No es en general cierto que (1) implica que el polinomio característico de a$A$$t^3 - t + 1$; si $\text{size}(A) \ne 3$, por ejemplo, no puede ser el caso, dado que el grado del polinomio característico es igual al tamaño de la matriz. ¿Qué nos puede decir, sin embargo, es que cada autovalor $\lambda$ $A$ satisface

$\lambda^3 - \lambda + 1 = 0, \tag{4}$

para

$Av = \lambda v \tag{5}$

los rendimientos

$A^3 v = A^2(Av) = A^2(\lambda v) = \lambda A(Av)$ $= \lambda^2 Av = \lambda^3 v, \tag{6}$

así que

$(\lambda^3 - \lambda + 1)v = (A^3 - A + I)v = 0, \tag{7}$

y desde $v \ne 0$ (es un autovector), (4), que se une. Por lo tanto no autovalor puede desaparecer; de nuevo, $A$ es invertible.