Cómo encontrar la suma de esto : $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+.....$

Question

Cómo encontrar la suma de los siguientes :

$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+.....+\sqrt{1+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}$

Por favor, sugiera como conseguir ninguna idea sobre esto... gracias..

Answer 1

Sugerencia:

Vamos a escribir de la siguiente manera:

$$\sum_{n=1}^{1999} \sqrt{1+ \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}}}$$

Podemos reescribir la radical como:

$$\sqrt{\frac{n^{2}(n+1)^{2} + n^{2} + (n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}}$$

Que se simplifica a:

$$\sqrt{\frac{(n^{2}+n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}} = \frac{n^{2}+n+1}{n^{2}+n} = 1 + \frac{1}{n^{2}+n}$$

Así que ahora nuestros suma es:

$$\sum_{n=1}^{1999} 1 + \frac{1}{n^{2}+n}$$

Edit: más consejos.

$$\sum_{n=1}^{1999} 1 + \frac{1}{n^{2}+n} = 1999 + \sum_{n=1}^{1999}\frac{1}{n(n+1)}$$

Por fracciones parciales de descomposición, podemos ver:

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}$$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Además AWertheim la respuesta, en caso de que usted no ha estudiado telescópico de la serie hasta la fecha, esta es la forma en que se puede calcular el $\displaystyle \sum_{n=1}^{1999} \frac{1}{n^{2}+n}$:

Primera ves que se puede escribir: $ \displaystyle \frac{1}{n^{2}+n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Esta técnica se denomina parcial fracción de descomposición si usted no lo sabe ya.

Ahora a ver qué pasa:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{1999} \frac{1}{n^{2}+n} = \displaystyle \sum_{n=1}^{1999}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + \cdot \cdot \cdot +(1/1999 - 1/2000) = 1 + (-1/2+1/2) + (-1/3 +1/3) +\cdot \cdot \cdot + (-1/1999+1/1999)-1/2000= 1 - 1/2000 = \frac{1999}{2000}$ Por lo tanto, cada término se cancela el término anterior, excepto el primer y último términos. Este tipo de serie se llama telescópico de la serie.

También tenga en cuenta que: $\displaystyle \sum_{n=1}^{1999} 1 = 1999$

Así, su suma es:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{1999} (1 + \frac{1}{n^{2}+n}) = \displaystyle \sum_{n=1}^{1999} 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{1999} \frac{1}{n^{2}+n} = 1999+ \frac{1999}{2000} = \frac{3999999}{2000} $