La inclusión de $L^p$ espacios

Question

Deje $X \subset L^1(\mathbb{R})$ cerrado lineal subespacio satisfactoria $$\begin{align} X\subset \bigcup_{p>1} L^p(\mathbb{R})\end{align}$$ Mostrar que $X\subset L^{p_0}(\mathbb{R})$ algunos $p_0>1.$

Supongo que el problema es que en la medida infinita espacios de la inclusión $L^p\subset L^q$ sólo tiene por $p=q$. Es tal vez possbile para aplicar Baire Teorema de alguna manera?

Answer 1

Los comentarios publicados a continuación están relacionados con una respuesta anterior, lo cual no era bueno. Ahora es una nueva versión, que es, creo yo, correcto.

Creo que tengo un enfoque que utiliza Baire categorías del teorema. Definimos para un entero $k$ $$F_k:=\{f\in X: \lVert f\rVert_{L^{1+1/k}}\leq k\}.$$

• $F_k$ es cerrado (por el $L^1$ norma). De hecho, vamos a $\{f_j\}\subset F_k$ que converge en $L^1$$f$. Una larga $\{f_{j'}\}$ converge a $f$ en casi todas partes, por lo tanto $$\int_{\Bbb R}|f|^{1+1/k}dx=\int_{\Bbb R}\liminf_{j'}|f_{j'}|^{1+1/k}dx\leq \liminf_{j'}\int_{\Bbb R}|f_{j'}|^{1+1/k}dx\leq k.$$
• Tenemos $X=\bigcup_{k\geq 1}F_k$. De hecho, tome $f\in X$; a continuación, $f\in L^p$ algunos $p>1$. Para $k$ lo suficientemente grande, $1+1/k\leq p$ y de la ruptura de la integral en los conjuntos $\{|f|<1\}$, $\{|f|\geq 1\}$ $$\lVert f\rVert_{L^{1+1/k}}^{1+1/k}\leq \lVert f\rVert_{L^1}+\lVert f\rVert_{L^p}^p,$$ así $$\lVert f\rVert_{L^{1+1/k}}\leq \left(\lVert f\rVert_{L^1}+\lVert f\rVert_{L^p}^p\right)^{1-\frac 1{k+1}}.$$ El RHS converge a $\lVert f\rVert_{L^1}+\lVert f\rVert_{L^p}^p$, por lo que es menor que dos veces esta cantidad para $k$ lo suficientemente grande. Ahora, considera a $k$ tal que $$2\left(\lVert f\rVert_{L^1}+\lVert f\rVert_{L^p}^p\right)\leq k.$$

Por Baire categorías del teorema, tenemos que un $F_{k_0}$ tiene un no-vacío interior. Es decir, podemos encontrar $f_0\in F_{k_0}$ $r_0>0$ que si $\lVert f-f_0\rVert_{L^1}\leq r_0$$f\in F_{k_0}$. Considere la posibilidad de $f\neq 0$ un elemento de $X$. A continuación,$f_0+\frac{r_0f}{2\lVert f\rVert_{L^1}}\in F_{k_0}$. Tenemos que $$\left\lVert \frac{r_0f}{2\lVert f\rVert_{L^1}}\right\rVert_{L^{1+1/k_0}}\leq \left\lVert f_0+ \frac{r_0f}{2\lVert f\rVert_{L^1}}\right\rVert_{L^{1+1/k_0}}+\lVert f_0\rVert_{L^{1+1/k_0}}\leq 2k_0,$$ por lo tanto $$\lVert f\rVert_{1+1/k_0}\leq \frac{4k_0}{r_0}\lVert f\rVert_{L^1},$$ lo que demuestra la incrustación.

Para un ejemplo donde el espacio es infinito dimensional, mira las respuestas aquí.

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Una observación: no usamos el hecho de que hemos trabajado en $\Bbb R$, y parece ser que funciona para cada uno mide el espacio de la no-negativo de la medida. Es decir, si $(S,\mathcal A,\mu)$ es una medida de espacio con $\mu$ no negativo, y si $X$ es un subespacio cerrado de $L^1(S,\mu)$$\bigcup_{p>1}L^p(X,\mu)$, entonces podemos encontrar $p_0$ tal que $X\subset L^{p_0}(X,\mu)$.