Mostrando un punto compactification es único hasta homeomorphism

Question

Primero para aclarar, voy a definir cosas como las que estoy familiarizado con ellos:

1. Un compactification de un no-topológicos compactos espacio de $X$ es un compacto de espacio topológico $Y$ tal que $X$ puede ser densley incrustado en $Y$ .

2. En particular, un compacitifaction se dice ser un punto de compactification si $\left|Y\backslash X\right|=1$

3. El Alexandroff de un punto de compactification de un espacio topológico $\left(X,\mathcal{T}_{X}\right)$ es el conjunto $X^{*}=X\cup\left\{ \infty\right\}$ para algunos el elemento $\infty\notin X$ dada la topología $$\mathcal{T}^{*}:=\mathcal{T}_{X}\cup\left\{ U\subseteq X^{*}\,|\,\infty\in U\,\wedge\, X\backslash U\,\mbox{is compact and closed in }\left(X,\mathcal{T}_{X}\right)\right\}$$ Si $\left(X,\mathcal{T}_{X}\right)$ es un espacio de Hausdorff uno puede omitir el requisito de que $X\backslash U$ está cerrada.

Es fácil mostrar que dos opciones de elementos de $\infty_{1},\infty_{2}\notin X$ el punto de compactifications $X\cup\left\{ \infty_{1}\right\}$ y $X\cup\left\{ \infty_{2}\right\}$ con la topología definida como el de la Alexandroff de un punto de compactification son homeomórficos. Lo que me pregunto es ¿por qué no hay otra manera posible de definir la topología en $X^{*}$ que también obtendríamos un compactification (que es, en particular, no homeomórficos a la Alexandroff de una topología de punto)

Tal y como yo lo veo hay dos enfoques para responder a esta pregunta:

1. Mostrar que cualquier topología en $X^{*}$ que los rendimientos de un espacio reducido en el que $X$ es denso es homeomórficos a $\mathcal{T}^{*}$.

2. Mostrar no es posible consturct cualquier otra topología en $X^{*}$ que se traduce en una compactification.

Estoy bastante interesado en ver el razonamiento de ambos enfoques, si es posible. Gracias de antemano!

Answer 1

Usted obtener la singularidad resultado si el espacio es Hausdorff.

Deje $\langle X,\tau\rangle$ ser un espacio compacto. Supongamos que $p\in X$ es en el cierre de $Y=X\setminus\{p\}$, y deje $\tau_Y$ ser la asociada a la topología de subespacio de $Y$; $\langle X,\tau\rangle$ es entonces un compactification de $\langle Y,\tau_Y\rangle$.

Supongamos que $p\in U\in\tau$, y deje $V=U\cap Y$. A continuación,$\varnothing\ne V\in\tau_Y$, lo $Y\setminus V$ es cerrado en $Y$. Por otra parte, $Y\setminus V=X\setminus U$ también está cerrado en $X$, que es compacto, por lo $Y\setminus V$ es compacto. Es decir, todos los abiertos nbhd de $p$ $X$ es el complemento de un compacto, cerrado subconjunto de $Y$. Por lo tanto, si $\tau'$ es la topología en $X$ que hace una copia de la Alexandroff compactification de $Y$,$\tau\subseteq\tau'$.

Ahora vamos a $K\subseteq Y$ ser compacto y cerrado en $Y$, y deje $V=Y\setminus K\in\tau_Y$. Si $X\setminus K=V\cup\{p\}\notin\tau$,$p\in\operatorname{cl}_XK$. Si $X$ es Hausdorff, esto es imposible: en ese caso, $K$ es un subconjunto compacto de Hausdorff espacio de $X$ y por lo tanto es cerrado en $X$. Por lo tanto, si $X$ es Hausdorff debemos tener $\tau=\tau'$, e $X$ (homeomórficos a) la Alexandroff compactification de $Y$.

Si $X$ no es Hausdorff, sin embargo, podemos tener $\tau\subsetneqq\tau'$. Un simple ejemplo es la secuencia con dos límites. Deje $D$ ser un countably conjunto infinito, vamos a $p$ $q$ ser distintos puntos que no están en $D$, y deje $X=D\cup\{p,q\}$. Puntos de $D$ son aislados. Abierto básicos nbhds de $p$ son los conjuntos de la forma $\{p\}\cup(D\setminus F)$ finitas $F\subseteq D$, y abierto básicos nbhds de $q$ son los conjuntos de la forma $\{q\}\cup(D\setminus F)$ finitas $F\subseteq D$. Deje $Y=D\cup\{q\}$. A continuación, $Y$ es denso en $X$, e $X$ es compacto, y $Y$ sí es un cerrado, compacto subconjunto de $Y$ cuyo complemento no está abierto en el $X$.

Mejora de ejemplo (1 de junio de 2015): Vamos a $D$ $E$ ser disjuntas countably conjuntos infinitos, vamos a $p$ $q$ ser distintos puntos que no están en $D\cup E$, vamos a $X=D\cup E\cup\{p,q\}$, y deje $Y=D\cup E\cup\{q\}$. Puntos de $D\cup E$ son aislados. Abierto básicos nbhds de $q$ son los conjuntos de la forma $\{q\}\cup D\cup (E\setminus F)$ finitas $F\subseteq E$, y abierto básicos nbhds de $p$ son los conjuntos de la forma $\{p\}\cup\big((D\cup E)\setminus F\big)$ finitas $F\subseteq D\cup E$. A continuación, $Y$ es un no-compacto y denso subespacio del espacio compacto $X$, lo $X$ es un (no Hausdorff) compactification de $Y$. Deje $K=\{q\}\cup E$. A continuación, $K$ es un compacto cerrado subconjunto de $Y$, pero $X\setminus K=\{p\}\cup E$ no está abierto en el $X$.

(Esto evita la cuestión de si es legítima la mirada en el Alexandrov compactification de un espacio compacto.)