Temas estudiados en la teoría de números

Question

Sé muy poco acerca de la teoría de los números, incluso después de leer su artículo de la Wikipedia.

1. Me preguntaba si los sujetos estudiado por la teoría de números es sólo sobre enteros o incluso más de manera restringida números naturales o los números primos, y cómo se relacionan con otros tipos de números como números racionales e irracionales?

2. En teoría de números, que son los verdaderos los números también estudió? Si sí, ¿qué aspectos de los números reales que son estudiadas en la teoría de los números?

   Son números reales estudiados así como la generalización de los números enteros y los números racionales? O son ellos también estudió independiente independientemente de los números enteros y los números racionales?

   Si ellos son también estudiados independientemente de los números enteros y los números racionales, es el conjunto de bienes los números, $\mathbb{R}$, considerado como un 1-dim espacio de Hilbert con el producto escalar el ser interior del producto y la inducida por topología, así como de cómo se estudia en el análisis real? Es de $\mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}, n>1$ estudiado en la teoría de los números? Puedo decir lo que se estudia en el análisis real acerca de los números reales es parte de la teoría de los números?

   Cuando se estudia de forma independiente de los números enteros y los números racionales, es $\mathbb{R}$ considerarse como un especial tipo algebraico de la estructura estudiada en álgebra abstracta?

3. Preguntas similares para complejo los números, a los de los números reales en 2. Especialmente hay diferencias entre cómo los números complejos son estudiados en el análisis complejo, en álgebra y teoría de números?

Gracias y saludos!

Answer 1

Número de teóricos del estudio de una serie de preguntas diferentes que son vagamente inspirada en las preguntas relacionadas con los números enteros y los números racionales.

Aquí están algunos temas básicos:

1. La distribución de los números primos: El arquetipo del resultado aquí está el primer número de teorema, indicando que el número de números primos $\leq x$ es asintóticamente $x/\log x$. Otro resultado básico es del teorema de Dirichlet sobre primos en progresión aritmética. Más recientemente, dispone de los resultados de Ben Verde y Terry Tao en la solución de ecuaciones lineales (con $\mathbb Z$-coeficientes de, digamos) en números primos. Importante los problemas abiertos son Goldbach de la conjetura, el gemelo primer conjeturas y preguntas acerca de la solución de ecuaciones no lineales en los números primos (por ejemplo, hay una infinidad de números primos de la forma $n^2 + 1$). La hipótesis de Riemann (uno de la Arcilla, del Instituto de Problemas del Milenio) también cabe aquí.

2. Diophantine ecuaciones: El problema fundamental aquí es para resolver ecuaciones polinómicas (por ejemplo, con $\mathbb Z$-coeficientes) en números enteros o números racionales. Un famoso problema aquí es el Último Teorema de Fermat (finalmente resuelto por Wiles). La teoría de curvas elípticas más de $\mathbb Q$ encaja aquí. El Abedul-Swinnerton-Dyer conjetura (otro de la Arcilla, del Instituto de Problemas del Milenio) es un famoso problema abierto sobre curvas elípticas. Mordell de la conjetura, demostrado por Faltings (para la cual obtuvo la medalla Fields) es un famoso resultado. También se puede estudiar Diophantine ecuaciones mod $p$ (para un primer $p$). Las conjeturas de Weil fueron un famoso problema relacionado con este último tema, y ambos Grothendieck y Deligne recibido Campos de medallas en parte por su trabajo en demostrar conjeturas de Weil.

3. La reciprocidad de las leyes: La ley de la reciprocidad cuadrática es el comienzo resultado aquí, pero hay muchas generalizaciones trabajado en el 19no siglo, que culmina en el desarrollo de la clase de teoría del campo en la primera mitad del siglo 20. El programa de Langlands es, en parte, sobre el desarrollo de la no-abelian la reciprocidad de las leyes.

4. El comportamiento de las funciones aritméticas: Una típica pregunta aquí sería para investigar el comportamiento de las funciones, tales como $d(n)$ (que es la función que cuenta el número de divisores de un número natural $n$). Estas funciones a menudo se comportan de manera irregular, pero uno puede estudiar su comportamiento asintótico, o el comportamiento en promedio.

5. Diophantine la aproximación y la trascendencia de la teoría: El objetivo de esta área es establecer los resultados acerca de si ciertos números son irracionales o trascendental, y también para investigar lo bien varios números irracionales puede ser aproximada por los números racionales. (Este último problema es el de Diophantine aproximación). Algunos de los resultados son de Liouville en la construcción de la primera conocida trascendental número, la trascendencia de los resultados sobre $e$ y $\pi$, y del teorema de Roth en Diophantine aproximación (para la cual obtuvo la medalla Fields).

6. La teoría de la modulares (o, más en general automorphic) formas: Esta es un área que surgió del desarrollo de la teoría de funciones elípticas por Jacobi, pero que siempre ha tenido un número fuerte de la teoría de sabor. La teoría moderna está muy influido por las ideas de Langlands.

7. La teoría de redes y cuadráticas formas: El problema del estudio de la formas cuadráticas se remonta al menos a la de cuatro plazas teorema de Lagrange, y la formas cuadráticas binarias fueron uno de los temas centrales de Gauss, Disquitiones. En su forma moderna, se va de preguntas, tales como la representación de los números enteros por formas cuadráticas, para el estudio de las rejillas con el buen embalaje propiedades.

8. La teoría algebraica de números: Esta se preocupa de estudiar las propiedades y algebraicas invariantes de los campos de número (es decir, finito extensiones de $\mathbb Q$) y sus anillos de enteros.

Hay más temas que sólo estos; estos son los que vinieron a la mente. También, estos temas están relacionados entre sí de diversas maneras. Por ejemplo, el primer conteo de la función es un ejemplo de uno de la media aritmética de las funciones mencionadas en (4), de manera que (1) y (4) están relacionadas. Como otro ejemplo, $\zeta$-funciones y $L$-funciones son herramientas básicas en el estudio de los números primos, y también en el estudio de Diophantine ecuaciones, la reciprocidad de las leyes, y automorphic formas; esto le da un vínculo común entre (1), (2), (3), y (6). Como una tercera, una herramienta básica para el estudio de las formas cuadráticas es la asociada a la theta-función; esto se relaciona (6) y (7). Y la reciprocidad de las leyes, Diophantine ecuaciones, y automorphic formas están todos relacionados, no sólo por su uso común de $L$-funciones, sino por un profundo web de conjeturas (por ejemplo, la BSD de conjeturas, y Langlands del conjeturas). Como otro ejemplo, Diophantine aproximación puede ser una herramienta importante en el estudio y la resolución de Diophantine ecuaciones; por lo tanto (2) y (5) están relacionadas. Finalmente, la teoría algebraica de números esencialmente fue inventado por Kummer, la construcción en la antigua obra de Gauss y de Eisenstein, para el estudio de la reciprocidad de las leyes, y también el Último Teorema de Fermat. Por lo tanto no siempre han sido, y siguen siendo, muy fuertes las relaciones entre temas (2), (3), y (8).

Una regla general en la teoría de números, como en todas las de las matemáticas, es que es muy difícil separar los importantes resultados, las técnicas y las ideas ordenadamente en distintas áreas. Por ejemplo, $\zeta$ y $L$-funciones son funciones analíticas, sino que son herramientas básicas no sólo en las áreas tradicionales de la teoría analítica de números, tales como (1), pero también en áreas que se consideran como más algebraicas, tales como (2), (3), y (8). Aunque algunas de las áreas mencionadas anteriormente están más estrechamente relacionados entre sí que otros, todos ellos están vinculados de diversas maneras (como he tratado de indicar).

[Nota: Hay entradas de Wikipedia sobre muchos de los temas mencionados anteriormente, así como un buen número de preguntas y respuestas en este sitio. Yo podría añadir enlaces en algún momento, pero no son demasiado difíciles de encontrar en cualquier evento.]

Answer 2

Muchacho, eso es un montón de temas para una muy simple y muy interesante (aunque complicado) pregunta...

La Teoría de los números comprende varios enfoques; en su corazón, la Teoría de números es el estudio de las propiedades de los números naturales, pero muy pronto uno es llevado a considerar otras estructuras, tales como los enteros modulo $m$, de los números racionales, reales y complejas números, etc. Incluso se podría hacer un caso en que el campo de análisis complejo nace de la aritmética (número de la teoría de la) consideraciones.

Uno podría aproximadamente dividir a la teoría de números en tres grandes sectores: clásico o elementales de la teoría de números; la teoría algebraica de números; y la teoría analítica de números. (También se puede añadir una cuarta: la recreación de la teoría de números que, para citar a Hendrik Lenstra, "es la rama de la Teoría de los números que es demasiado difícil para un estudio serio.")

"Clásico" o elementales de la teoría de números es el tipo de cosas que Fermat fue justamente famoso por: diophantine problemas, la divisibilidad de las preguntas, el tipo de cosa en la primera sección de Gauss "disquisitiones Arithmeticae", con preguntas que se refieren casi exclusivamente a los números naturales, números enteros o números racionales. Generalmente, usted se pega a trabajar con números enteros, racionales y enteros modulo $n$ diferentes $n$s. El basic tipo de cosas.

Algebraica y la teoría analítica de números originalmente fueron distinguidos por el tipo de herramientas que se utilizaron en el estudio de problemas de aritmética, pero más tarde también por el tipo de preguntas que le fueron hechas (las preguntas que a menudo porque surgió de las herramientas que uno estaba trabajando). La teoría analítica de números usos de los números complejos para el estudio de propiedades aritméticas; el original de la prueba del Teorema de los números Primos (una declaración acerca de la primer función de conteo) es un ejemplo clásico. Utiliza las herramientas de análisis (límites, integrales, reales y complejos, análisis, etc) para estudiar y respuestas a tales preguntas.

La teoría algebraica de números, por otro lado, los usos algebraicas (en lugar de analítica) herramientas para el estudio de problemas. Un ejemplo clásico es el estudio de Fermat Navidad Teorema (un primer $p$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados si y sólo si $p=2$ o $p\equiv 1\pmod{4}$) el uso de los enteros de Gauss, $\mathbb{Z}[i]$, o las pruebas de la cuadrática y cúbica de reciprocidad que el uso de la Gaussiana y la de Eisenstein enteros; el estudio de las sumas de Gauss, etc. Un típico objeto de preocupación para la teoría algebraica de números es el anillo de enteros de un campo finito de extensión de $\mathbb{Q}$ (llamado en un campo de número): comience con un campo finito de extensión de $\mathbb{Q}$, $K$, y considerar todos los elementos de $K$ que son raíces de monic polinomios con coeficientes enteros. Forman una relación bastante bonito anillo, con algunas muy agradable propiedades (que son el ejemplo prototípico de un dominio de Dedekind). También el estudio de lo que uno podría argumentar que es la contraparte algebraica de los reales y los números complejos (en relación a los racionales), el $p$-ádico números de $\mathbb{Q}_p$ (se puede pensar de los reales como una forma de "completar" los racionales con respecto a la función de valor absoluto; se puede pensar en el $p$-ádico números como una forma de "completar" los racionales, ya sea con respecto a un tipo diferente de la función valor absoluto, o, alternativamente, como una manera de hacer sentido de una "secuencia infinita de aproximaciones" modulo superior y los poderes superiores de $p$). La teoría algebraica de números, ahora tiene su propio "nivel superior rama", de Aritmética, de Geometría, que trae en las herramientas de la geometría algebraica para estudiar el número teórico de preguntas (creo que si "Álgebra", "Geometría", "Análisis", "topología "Teoría de números", etc. como " de primer nivel de los sujetos; a continuación, usted tiene la teoría algebraica de números, topología algebraica, geometría analítica, etc., como segundo nivel de los sujetos.' Ahora tenemos algebraica aritmética geometría, un "tercer nivel").

En tanto algebraica y la teoría analítica de números que muy rápidamente se ven obligados a considerar los números irracionales, a veces incluso trascendental números, simplemente porque están ahí. El tema de diophantine aproximación es un ejemplo.

¿Qué propiedades de los números reales que se estudian en la teoría de los números? Bueno, para ser simplista, de aquellos que son "aritméticamente pertinentes". Es bastante difícil de descartar ciertas propiedades como importantes y otros no es importante. Algunos vienen, algunos no.

Los números reales son estudiados desde muchos puntos de vista, no sólo desde la teoría de los números. En un sentido, las ideas de los números reales (como la línea real) son tan antiguos como la teoría de los números (si desea peg Euclides con los conceptos básicos de la teoría de los números, o Diophantus).

Como Zev notas, los números reales (y el de los números complejos) tienen una rica estructura que se estudian de todo tipo de puntos de vista (topología, el orden, la lógica, el análisis, álgebra, incluso matemáticas discretas). Asimismo, para los números complejos.

En cuanto a las diferencias en la forma de estudio de los reales y los números complejos en el análisis, en la teoría de números, y en el álgebra, así, el tipo de preguntas que usted está interesado en son diferentes. En la teoría de los números, es rara vez de cualquier interés que el de primer orden de la teoría de los números reales con la suma y la multiplicación se decidable (un teorema de Taski); sino que es una relación bastante grande en la lógica. Muy parecido a como un estudio de la Edad Media puede ser diferente dependiendo de si usted es un economista, historiador (historiador interesado en Europa; un historiador interesado en el Oriente Medio; un historiador interesado en Francia, etc), un sociólogo, un epidemiólogo, etc. Los diferentes puntos de vista de todos cubren el mismo terreno, y a menudo se superponen (transmisión de la peste negra fue una de las claves de motor de cambios drásticos en las economías de Europa, dándole una conexión entre la epidemiología y la economía), pero los puntos de vista diferentes. Dada la forma ubicua los reales y los números complejos son, te vas a encontrar en todo el lugar, jugar papeles diferentes en cada uno y provocando algo diferentes preguntas en cada uno.

Answer 3

No estoy seguro de que yo podría afirmar con total tranquilidad hay una sola área de matemáticas, para que la teoría de los números no relacionados (tal vez Pde?) - hay muchos, muchos más objetos y conceptos estudiados por la "teoría de números" que simples números. En cualquier caso: sí, la lista de cosas que surgen en la teoría de los números incluye los números reales - ver este MO pregunta. Una de las muchas razones es que $\mathbb{R}$ se define para ser la finalización de $\mathbb{Q}$ con respecto a la habitual (arquímedes) métrica, y las terminaciones de $\mathbb{Q}$ nos dan una idea de número teórico de preguntas acerca de los números primos (tenga en cuenta que el resto de las sugerencias de $\mathbb{Q}$ son $p$-adics $\mathbb{Q}_p$ - hay uno para cada número primo p$$). Así, los números reales $\mathbb{R}$ se definen en términos de $\mathbb{Q}$, que debe ser definida en términos de $\mathbb{Z}$; en este sentido, ninguno de ellos puede ser estudiado de forma independiente el uno del otro. Pero $\mathbb{R}$ tiene muchas estructuras: el espacio de Hilbert, medir el espacio, el espacio métrico (y por lo tanto topológica del espacio), campo, conjunto ordenado, colector, etc. Estas estructuras se destacó en diferentes grados y en diferentes áreas de las matemáticas; pero la mayoría de estas estructuras en $\mathbb{R}$ se utilizan en la teoría de números en algún lugar o en otro (nota: no me refiero a la afirmación de que esto es lo que la teoría de los números consta de; sólo que para cada una de estas estructuras en $\mathbb{R}$, existe al menos una parte de la teoría de números, donde se usa). También, $\mathbb{R}^n$ viene haciendo de Minkowski de la "geometría de los números"; para dar otro ejemplo, creo que la mitad superior del espacio de $\mathbb{R}^n$ es actuada por la matriz de los grupos es el objeto de estudio en las áreas de teoría de números que tengo poco conocimiento de la información personalmente.

En respuesta a su edita: no, lo que un verdadero analista de estudios acerca de los números reales no es una "parte de la teoría de los números". Sin embargo, un número teórico (en particular, una analítica de números teórico) podría incorporar algunos de los resultados de análisis real sobre los números reales para demostrar el número de resultados de la teoría. Analítica de números teóricos también utilizan una gran cantidad de análisis complejo.

En algunas maneras, $\mathbb{C}$ es incluso más bonito objeto de $\mathbb{R}$. Tiene todas las estructuras que $\mathbb{R}$ tiene que me de la lista anterior (salvo el orden), pero es algebraicamente cerrado que $\mathbb{R}$ es no. Esto es particularmente importante para el álgebra y teoría de números; también se evidencia de muchas maneras en el análisis complejo.

Ambos de estos objetos ($\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$) tener todas estas estructuras diferentes, todos interactuando unos con otros a la vez, las hace particularmente interesante para muchos diferentes áreas de las matemáticas, sino que son muy singulares objetos. Sin embargo, creo que la presencia de tantas estructuras hace que sea mucho más importante para desentrañar qué es exactamente una declaración acerca de real o de los números complejos está utilizando; que puede haber hecho una declaración válida de alrededor de $\mathbb{C}$, pero tal vez lo que realmente funciona para cualquier algebraicamente cerrado de campo? ¿Necesitamos utilizar la métrica de $\mathbb{R}$, o simplemente la topología? Y así sucesivamente.