componentes covariantes y contravariantes y cambio de base

Question

Al leer sobre la covariante y la contravariante me encontré con lo siguiente:

En esas discusiones, es posible que veas palabras en el sentido de que las componentes covariantes se transforman de la misma manera que los vectores base ("co" "con"), y que las componentes contravariantes se transforman de forma opuesta a los vectores vectores base ("contra" "contra"). Como verás más adelante en este capítulo, hay mucha verdad en esa descripción, pero también hay un gran trampa. Eso es porque la "transformación" de los vectores base suele se refiere a la conversión de los vectores base en el sistema de coordenadas original (no rotado) a los diferentes vectores base que que apuntan a lo largo de los ejes de coordenadas en el nuevo sistema (girado), mientras que la "transformación" de los componentes del vector se refiere al cambio de los componentes del mismo vector referido a dos conjuntos diferentes de ejes de coordenadas.

Más adelante muestra lo siguiente:

$$\begin{pmatrix} \text{Components of} \\ \text{same vector} \\ \text{in new system} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{Inverse} \\ \text{transformation} \\ \text{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Components of} \\ \text{vector in} \\ \text{original system} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} \text{New basis} \\ \text{vectors} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{Direct} \\ \text{transformation} \\ \text{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Original basis} \\ \text{vectors}\end{pmatrix}$$

Estos me confunden porque desde el cambio de base tenemos $B'= BP$ y $[v]_{B'}=P[v]_B$ . El $[v]_{B'}=P[v]_B$ es la primera de las ecuaciones mencionadas. Pero la segunda de ellas no la entiendo ya que el libro como se muestra arriba tiene la matriz de transformación directa en el lado izquierdo y no en el derecho. Podríamos escribir $B'= BP = (BPB^{-1})B$ pero si $BPB^{-1}$ es la matriz de transformación directa, entonces la $P$ en $[v]_{B'}=P[v]_B$ no tiene sentido como matriz de transformación inversa como la inversa de $BPB^{-1}$ no es $P$ .

Así que más tarde cuando leí lo siguiente:

puede combinar componentes con superíndices (contravariantes) con vectores base con subíndices (covariantes)

No sé cómo conciliarlo con lo que ya sé sobre el cambio de base.

Answer 1

Para entenderlo, tomemos un cambio de base dado por $$b_1={B^1}_1e_1+{B^2}_1e_2$$ $$b_2={B^1}_1e_1+{B^2}_2e_2$$ donde $\{e_1,e_2\}$ es una base antigua y $\{b_1,b_2\}$ es la nueva Relación que puede ser sucintamente expresada como $b_i={B^s}_ie_s$ (aquí vemos cómo covariar las bases ).

Acordar que la matriz de dichos datos es $$[B]=\begin{bmatrix} {B^1}_1, {B^1}_2\\ {B^2}_1, {B^2}_2\\ \end{bmatrix}$$ Entonces, para obtener las nuevas componentes de un vector $v=v^1e_1+v^2e_2$ , verás que $$v_b=[B]^{-1}v_e,$$ (aquí vemos cómo los componentes contravariante ), $v_e$ es una columna que se organiza a partir de los componentes antiguos; $v_b$ son los datos de los nuevos componentes del mismo vector $v$ .

Desplegado es $$ \begin{bmatrix} w^1\\ w^2\\ \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} {B^1}_1, {B^1}_2\\ {B^2}_1, {B^2}_2\\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} v^1\\ v^2\\ \end{bmatrix}$$ tal que $v=w^1b_1+w^2b_2$ en la nueva base.

Tomemos un ejemplo explícito para iluminar aún más: Dejemos que $$b_1=e_1+2e_2,$$ $$b_2=e_1+3e_2,$$ sea un cambio de base. Su matriz de cambio de base es $[B]= \begin{bmatrix} 1& 1\\ 2&3\\ \end{bmatrix} $ .

Ahora resolviendo para $e_i$ obtenemos $$e_1=3b_1-b_2,$$ $$e_2=-2b_1+b_2.$$ ¿Qué sustitución en $v$ da: $$v=v^1(3b_1-b_2)+v^2(-2b_1+b_2).$$ Esto se simplifica en $$v=(3v^1-2v^2)b_1+(-v^1+v^2)b_2.$$

Ahora sigue con tus ojos el $[B]^{-1}v_e$ producto: $$ \begin{bmatrix} 3&-1\\ -2&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v^1\\ v^2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3v^1-v^2\\ -2v^1+v^2\\ \end{bmatrix}. $$

Answer 2

Voy a tratar de explicar utilizando un espacio vectorial "extraño" que no sea $\mathbb{R}^3$ como el espacio de polinomios de grado $\leq 2$ . Por supuesto, todos los espacios vectoriales reales de dimensión finita de la misma dimensión son isomorfos, pero esperamos que esto elimine parte de la confusión que surge cuando todo lo que se ve es $\mathbb{R}^3$ .

Así que digamos que tengo una base $B$ para estos polinomios, digamos $\{1, x, x^2\}$ . Puedo escribir cualquier elemento aleatorio de mi espacio vectorial, como $3x^2+2x+1$ como una combinación lineal de esos elementos base: $1\cdot 1 + 2\cdot x + 3\cdot x^2$ por lo que podría representar ese polinomio como el vector $(1,2,3)$ en esa base.

Supongamos que tengo una segunda base $B'$ para estos polinomios; digamos que $\{x+1, x-1, x^2-1\}$ . Ahora hay dos tipos de transformaciones relacionadas con $B$ a $B'$ Podría interesarme.

1. ¿Cómo puedo expresar la nuevo vectores base como combinaciones lineales de los anteriores? En otras palabras, ¿cuál es la matriz $P$ con $$\left[\begin{array}{ccc}x+1&x-1&x^2-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&x&x^2\end{array}\right]P?$$ En este caso es $$P=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right].$$ Obsérvese que los componentes de $B$ y $B'$ son diferentes polinomios. No existe ninguna relación entre los componentes de $B$ y $B'$ aparte del hecho de que ambas bases abarcan todo el espacio.

2. Dado un vector en base $B$ ¿Cómo escribo el mismo vector en base $B'$ ? Por ejemplo, para el ejemplo de $3x^2 + 2x+1$ vimos que podía escribirlo como $(1,2,3)$ en $B$ . El mismo polinomio es $(3,-1,3)$ en la base $B'$ . Y los dos están relacionados por $$\left[\begin{array}{c}3\\-1\\3\end{array}\right] = P^{-1}\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]$$ Se puede ver que esto funciona en general convirtiendo primero el vector de componentes $v$ en el polinomio completo $Bv$ , la utilización de la relación $B' = BP$ para conseguir que ese polinomio se pueda escribir también como $B'P^{-1}v$ y así los coeficientes del polinomio en la base $B'$ son $P^{-1}v$ .

Los dos puntos clave son que a) en la transformación 1, los objetos que se transforman son polinomios de base mientras que en la transformación 2, los objetos son vectores de coeficientes reales y b) que en la transformación 2, los coeficientes antiguos y los nuevos representan la mismo polinomio, escrito de una manera nueva. Compárese con la transformación 1, en la que el primer polinomio de base de $B$ es no el mismo polinomio que el primer polinomio base de $B'$ .

Por cierto: el lenguaje de los vectores covariantes/contravariantes está demasiado arraigado en la física como para ir a ninguna parte, desgraciadamente, pero si coges un buen libro de geometría riemanniana y lees al menos los primeros capítulos hasta la discusión del espacio tangente, el espacio cotangente y los isomorfismos musicales, puede que te dé una nueva perspectiva de lo que pasa con todos esos índices superiores/inferiores.

Answer 3

He localizado el libro: Guía del estudiante sobre vectores y tensores por Daniel Fleisch. En la sección "Transformaciones vectoriales de base", que es la fuente de la ecuación $$\begin{pmatrix} \text{New basis} \\ \text{vectors} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{Direct} \\ \text{transformation} \\ \text{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Original basis} \\ \text{vectors}\end{pmatrix}, \tag{1}$$ el autor "deriva" $(1)$ considerando la situación más concreta de vectores giratorios en el plano. Todas las ecuaciones de ejemplo tienen la siguiente forma: Si $v'$ es el resultado de girar $v$ en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo $\alpha$ entonces su $x$ - y $y$ -están relacionados por la ecuación matricial $$ \begin{pmatrix} v'_x \\ v'_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x \\ v_y\end{pmatrix}. $$ Esto se generaliza a $$[v']_{B^\star} = Q(B^\star)[v]_{B^\star}, \tag{2}$$ donde $B^\star$ es una base arbitraria del espacio vectorial. $Q(B^\star)$ es una matriz que parece depender de la elección de $B^\star$ : Se puede demostrar que $Q(B) = P$ (un enfoque es seguir los diagramas conmutativos que produje para la revisión anterior de esta respuesta ), y luego que $Q(B^\star)$ está relacionado con $P$ mediante una transformación de similitud. Incluso intuitivamente, no deberíamos esperar $Q(B^\star)$ sea igual a $P$ en general: Ecuación $(2)$ expresa (los componentes de) cada nuevo vector base como una función de (los componentes de) un vector base original correspondiente, mientras que $B' = BP$ expresa cada nuevo vector base como una combinación lineal de todos los vectores base originales.

Aplicando $(2)$ a las componentes de los vectores base, obtenemos $$[B']_{B^\star} = Q(B^\star)[B]_{B^\star}, \tag{3}$$ que ciertamente se parece a $(1)$ . Las principales discrepancias que percibo son

1. $Q(B^\star)$ es donde usted esperaba $P$ ser, y
2. La matriz $Q(B^\star)$ está actuando sobre una matriz de componentes (un elemento de $\mathbb F^{n \times n}$ ), no en una lista ordenada de elementos del propio espacio vectorial (un elemento de $V^n$ ).

La discrepancia 1 se explica porque el autor parece suponer que $B^\star = B$ ; obsérvese que cuando él "deriva" $(1)$ sólo considera el caso en dos dimensiones donde los vectores base tienen componentes $(1,0)^\top$ y $(0,1)^\top$ . Como he señalado antes, $Q(B^\star)$ se convierte en $P$ cuando $B^\star = B$ .

La discrepancia 2, en cambio, no se puede conciliar. Como se desprende de $B'=BP$ , elementos de $V^n$ se consideran fila hipervectores. Las consideraciones dimensionales prohíben, por tanto, la multiplicación por la izquierda de elementos de $V^n$ por matrices.

Así que creo que $(1)$ está mal redactado. A la luz de $(3)$ debería decir algo como $$\begin{pmatrix} \text{Components} \\ \text{of new} \\ \text{basis vectors} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{Matrix similar to} \\ \text{direct transformation} \\ \text{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Components} \\ \text{of original} \\ \text{basis vectors}\end{pmatrix}. \tag{$ 1' $}$$ Si asumimos que $B^\star = B$ entonces $(1')$ se convierte en $$\begin{pmatrix} \text{Components} \\ \text{of new} \\ \text{basis vectors} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{Direct} \\ \text{transformation} \\ \text{matrix} \end{pmatrix} \cdot I = \begin{pmatrix} \text{Direct} \\ \text{transformation} \\ \text{matrix} \end{pmatrix}.$$ Ninguna de estas ecuaciones entra en conflicto con $B' = BP$ .

Answer 4

Dejemos que $V$ ser generado por la colección de vectores básicos $\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,...,{\mathbf{b}}_n\}$ . Sin el uso de espacios duales la gente solía explicar el efecto en los componentes $a^s$ de un vector $${\mathbf{a}}=a^s{\mathbf{b}}_s,$$ de esta manera:

Vamos $V\stackrel{B}\dashrightarrow V$ indican un cambio de base en $V$ .

Un importante cambio de base en un $n$ -espacio-vectorial-interno-dimensional $(V,\langle\ ,\rangle)$ es la "toma de la base recíproca". Esta se construye de la siguiente manera:

La matriz de Gram para la base $\{\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_n\}$ es $G=[g_{ij}]$ , donde
$g_{ij}=\langle\mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j\rangle$ son los coeficientes métricos.

Desde el $\{\mathbf{b}_i$ son linealmente independientes, entonces $G$ es no singular, y entonces $G^{-1}$ existe. Simbolizamos como $G^{-1}=[g^{ij}]$ . Como uno tiene $1\!1=GG^{-1}$ Esto implica $g_{is}g^{sj}=\delta_i^j$ .

Definamos un vector base recíproco como $$\mathbf{b}^k=g^{sk}\mathbf{b}_s. \qquad (1)$$

La colección $\{\mathbf{b}^1,...,\mathbf{b}^n\}$ será un cambio de base $$V\stackrel{G^{-1}}\dashrightarrow V\qquad\mbox{ given by}\qquad \mathbf{b}_k\dashrightarrow \mathbf{b}^k,$$ porque $G^{-1}$ es una matriz no singular.

Entonces vamos a llamar componentes covariantes de un vector $\mathbf{a}\in V$ los escalares $a_k$ interviniendo en $$\mathbf{a}=a_s\mathbf{b}^s.$$

Mediante el uso de $(1)$ arriba obtendremos $$a_k=g_{ks}a^s.\qquad (2)$$

Aquí se puede ver que mientras tanto $\mathbf{b}_k$ y $\mathbf{b}^k$ covariable con $G^{-1}$ entonces $a_k$ necesita $\left({G^{-1}}\right)^{-1} =G$ para variar de los componentes antiguos $a^k$ del vector $\mathbf{a}$ , es decir, contravariable.