Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ sea un espacio de probabilidad, $X$ una variable aleatoria integrable, $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ a $\sigma$ -campo. El expectativa condicional de $X$ dado $\mathcal{G}$ es por definición la única variable aleatoria $Y$ que es $\mathcal{G}$ -medible y satisface $E[Y;A] = E[X;A]$ para todos $A \in \mathcal{G}$ . Demostrar la unicidad de $Y$ es fácil, pero la existencia es más difícil. Estoy buscando una buena prueba de existencia con requisitos mínimos.
La prueba tradicional es invocar el teorema de Radon-Nikodym: la medida con signo $\nu(A) = E[X;A]$ en $(\Omega, \mathcal{G})$ es absolutamente continua a $\mu = P|_\mathcal{G}$ Así que toma $Y$ para ser la derivada de derivada de Radon-Nikodym, y claramente tiene las propiedades deseadas. Pero las pruebas que conozco del teorema de Radon-Nikodym, aunque son elementales son algo complicadas (al menos 2 páginas, incluso si sólo se hace el caso absolutamente continuo).
Otra prueba es tomar primero $X$ con una varianza finita, y observe que $K = L^2(\Omega, \mathcal{G}, P)$ es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert espacio $H = L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ; luego tomar $Y$ para ser la proyección ortogonal de $X$ en $K$ . De nuevo, es fácil ver entonces que $Y$ tiene las propiedades deseadas. Pero esto no es tan adecuado para los estudiantes que no tienen experiencia en el análisis funcional. Se puede desarrollar los hechos necesarios desde cero, pero es un poco tedioso.
Así que me pregunto si alguien sabe de una prueba sencilla, preferiblemente usando sólo la teoría básica de la medida y los hechos de la probabilidad.
