¿Cuál es la mejor base que se puede utilizar?

Question

Cuando escribí esta pregunta en google encontré este enlace: http://octomatics.org/ Sólo desde el punto de vista gráfico: este sistema parece más fácil (cuando explica que se puede superponer la línea). También habla de la utilidad de la base 8 para los ordenadores. ¿Es realmente la base 8 la mejor? ¿Qué hace que una base sea mejor que la otra? ¿Hay algún argumento matemático que podamos utilizar para decidir cuál es la mejor base a utilizar? Gracias por tu perspicacia, creo que la respuesta tiene que estar enredada con otras áreas del conocimiento como las ciencias cognitivas o simplemente que tan grandes son los números que se usan con más frecuencia pero: La aritmética es algo que casi todo el mundo hace así que probablemente merezca la pena probar a ver si lo estamos haciendo lo más fácil posible. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Hace un tiempo intenté hacer algo de aritmética con lápiz y papel en base 16 (extracción de raíces cuadradas) para ver cómo era, y descubrí que era difícil principalmente porque no tengo memorizada la tabla de multiplicar en base 16, y hay mucho que memorizar. Mi conclusión al final fue que la forma más fácil de hacer aritmética en base-16 es hacerlo en base 4 y luego convertir al final; la conversión es trivial. Todos los números tienen el doble de dígitos, pero se tarda mucho menos de la mitad en calcular cada dígito, por lo que es mucho más rápido. La conversión a base 2 va demasiado lejos y pierde el equilibrio; ahora los numerales vuelven a ser el doble de largos, pero no se gana suficiente velocidad como para que merezca la pena.

Para la base $n$ tienes que memorizar $\frac12\bigl(n^2-3n+2\bigr)$ entradas de la tabla de multiplicar, ya que $0\times n$ y $1\times n$ son triviales, y $m\times n = n\times m$ . Esto aumenta rápidamente con $n$ en base 10 tienes 36 productos que memorizar; en base 16 son 105. Para base 4, sólo hay que recordar $2\times 2 = 10, 2\times 3 = 12, $ y $3\times 3 = 21$ .

No he probado ninguno de los métodos habituales para acelerar la multiplicación con papel y lápiz, como los huesos de Napier o las reglas de Genaille-Lucas. Pero no creo que éstos ayuden lo suficiente. Si no dominas las tablas de multiplicar, pierdes mucho sentido numérico que probablemente das por sentado. Por ejemplo, no puedes calcular la respuesta a los problemas de división. El algoritmo de la raíz cuadrada requiere que adivines la respuesta a un montón de subproblemas del tipo "¿Cuántas veces es 2D,409 entrar en 1C0,000 ?" y mientras que este tipo de cosas son fáciles en base 10 porque tienes años de práctica (¿Qué es $1,835,000\div 185,353$ a un decimal?) es difícil en base 16. Así que conocer las tablas de multiplicar es importante, y en base 16 hay mucho que saber.

El ejercicio me pareció muy instructivo y lo recomiendo. Aunque sólo sea por eso, puede ser interesante volver a experimentar sentimientos que no has tenido desde tercer curso.

La conversión a y desde base 8 no es tan afortunada, pero la tabla de multiplicar no es demasiado difícil de memorizar. Aun así, creo que las ventajas sobre las bases 4 o 16 son mínimas, si es que existen. Creo que la peor opción para el cálculo con lápiz sería un número primo grande, ya que no hay una conversión fácil a una base más pequeña como la hay de bases 8 o 16 a base 4.

Los desiderata para el cálculo por ordenador son, por supuesto, completamente diferentes, y para el cálculo con ábaco son de nuevo diferentes. En el caso de los ordenadores, he visto afirmaciones de que la base 3 es óptima en cierto sentido, pero creo que 70 años de práctica de la ingeniería lo refutan por completo. En cierto sentido, los ordenadores modernos no funcionan en base 2, sino en base 256, pero parece ser una cuestión filosófica; depende del nivel de funcionamiento que se considere.

Answer 2

Podríamos decir que hay dos objetivos deseables para un sistema de base:

1. Un número mínimo de símbolos (por ejemplo, hay dos símbolos en binario, 0 y 1).
2. Longitudes digitales mínimas para cada número (por ejemplo, el número 10101 tiene una longitud de 5 dígitos en binario).

Digamos que nuestra base es $b$ por lo que tenemos exactamente $b$ símbolos para representar números. La longitud digital de un número se representa entonces como $\log_bN$ para un número positivo $N.$

Hay muchas formas de intentar minimizar ambos valores simultáneamente. Una forma es minimizar $||\langle b,\space \log_bN \rangle||_p$ donde $||\small \vec x||_p$ es la p-norma de $\vec x$ y donde $N$ puede ser cualquier número arbitrario (de ahí que $N$ se convierte en una especie de parámetro de ponderación).

Los resultados que obtenga con el algoritmo anterior dependen completamente de los valores que elija para $N$ y $p$ . Así que, aunque no hay una respuesta absoluta, se puede obtener una asignando valores fijos a estos dos parámetros.

Answer 3

Para tener el mayor número de lectores posible, junto con la mayor probabilidad de que tus lectores lean tu obra hasta el final, y la probabilidad de que tus lectores también encuentren tu obra fácil de leer, en la actualidad, parece que quieres base diez.

No existe ningún argumento matemático sobre qué sistema de base es el mejor hasta que tengamos criterios para determinar qué significaría "el mejor". ¿Con quién queremos hablar? ¿Con qué fin hablamos con ellos? ¿Qué tipo de formación tienen? ¿De qué herramientas disponen? ¿Qué pueden hacer esas herramientas?

Answer 4

La base 3 es óptima porque se puede demostrar que es el medio más eficiente de almacenamiento de información como equilibrio entre el número de símbolos y el espacio que ocupan. Ojalá tuviera a mano el documento que lo demuestra para poder consultarlo. Por desgracia, está enterrado en algunas cajas. Pero existe y la razón tiene que ver con el logaritmo natural (técnicamente, el logaritmo natural es el más eficiente, pero una base fraccionaria, aunque posible, obviamente no es práctica).

Sin embargo, eso no hace que la base 3 sea la mejor para los humanos, ya que, obviamente, no somos simples máquinas de calcular. Para nosotros, hay que tener en cuenta el reconocimiento de patrones y la memoria. Lo que significa que una base eficaz tiene que encontrar un equilibrio entre nuestra capacidad para recordar un número largo de unos pocos símbolos y nuestra capacidad para manipular un número corto de muchos símbolos. Lo que, para ir al grano, significa que debe estar entre 4 y 16. Además, los números Impares están descartados porque dividir por dos es una necesidad práctica. Además, hay que tener en cuenta otros aspectos prácticos.

Tanto el 4 como el 16 superan los límites del uso práctico cotidiano. La base 4 es muy larga y la 16 requiere memorizar demasiadas tablas. Aunque la base 16 es útil para trabajar con ordenadores, esa es realmente la única razón de su uso. Aunque, a su favor, es la más concisa. La base 8 es mucho más práctica para el uso cotidiano, sin dejar de ser útil para el trabajo con ordenadores. Issac Asimov era un gran defensor del uso de la base 8 en lugar de la base 10.

En cambio, mucha gente piensa que la base 12 es mejor porque es la que tiene más divisores: 2,3,4 y 6. Esto la hace muy práctica para trabajar con la división de cosas. Dividir un número de base 12 entre cualquiera de ellos es tan fácil como dividir un número de base 10 entre 5. La desventaja es que la base 12 tiene una tabla de multiplicar un poco larga que hay que memorizar. Evitar esto nos lleva a la base 6 (también conocida como senario), que tiene una tabla de multiplicar trivial y, sin embargo, tiene la mayoría de las ventajas de la división en base 12. Aunque no se puede dividir entre cualquier número de base 12, la base 6 es más fácil de memorizar. Aunque no se puede dividir por 4 de manera uniforme, los números de base 6 se pueden tomar de dos en dos y dividirlos uniformemente por 4 y 9, lo que compensa fácilmente esta deficiencia. Otro aspecto interesante de la base 6 es que se puede contar con las manos con la misma facilidad que los decimales. Cada mano representa simplemente un lugar de las unidades 0 a 5, permitiendo a una persona contar de 0 a 35.

En resumen, aunque hay cierta subjetividad a la hora de designar una base como mejor que otra, existen algunos criterios claros que limitan la selección a sólo un puñado de valores posibles.

Answer 5

La base 8 tiene conversión binaria directa de ida y vuelta y funcionaría casi igual de bien.

Tener base-2 en lugar de otra cosa es una cuestión de electrónica/hardware antes incluso de entrar en la zona de valores en cualquier base. Cada bit por separado se convierte de un flujo analógico a binario a través de una medida que se juzga - es emitido como 1 si es está más cerca de 1 que de 0 y viceversa (un experto en electrónica podría comentar más sobre esto). Dividir una señal entre más opciones disminuiría su precisión y es más costoso para el hardware. En los primeros tiempos, el hardware era más costoso que el software. que el software en él en los primeros días, cuando todo esto se estaba estableciendo.