Demostrar Que $x=y=z$

Question

Si $x, y,z \in \mathbb{R}$,
y si

$$ \left ( \frac{x}{y} \right )^2+\left ( \frac{y}{z} \right )^2+\left ( \frac{z}{x} \right )^2=\left ( \frac{x}{y} \right )+\left ( \frac{y}{z} \right )+\left ( \frac{z}{x} \right ) $$

Demostrar que $$x=y=z$$

Answer 1

Una similar triple de completar el cuadrado es útil. Mediante su notación, $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+2(a+b+c)-3=a+b+c$. Este reorganiza a $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=3-(a+b+c)$. Por lo tanto $a+b+c\le 3$ ya que de lo contrario la suma de tres cuadrados sería negativo. En consecuencia,$a^2+b^2+c^2\le 3$.

Por desgracia, no tengo un lindo truco frente a la desigualdad. Deje $x=a^2, y=b^2$. Quiero minimizar $f(x,y)=x+y+\frac{1}{xy}$, asumiendo $x,y>0$. Configuración de los parciales iguales a cero, I se $1-\frac{1}{xy^2}=0=1-\frac{1}{yx^2}$, que tiene solución única $x=y=1$. (como $x,y$ enfoque de 0 o $\infty$, $f(x,y)$ crece sin límite, así que esto es un mínimo). En consecuencia,$f(x,y)\ge f(1,1)=3$.

Answer 2

Deje $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$, y vamos a $$ G=\sqrt[3]{abc}, A = \frac{a+b+c}{3}, Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} $$ A continuación, la condición dada es $Q^2=A$, pero por el poder significa la desigualdad $$ Q^2\ge P \ge Un \ge G = 1 $$ con la igualdad en cada caso, sólo si $a=b=c=1$, es decir, si $x=y=z$.

Answer 3

Vamos $$ a=\frac{x}{y} $$ $$ b=\frac{y}{z} $$ $$ c=\frac{z}{x} $$ A continuación, $$abc=1$$ $$ a^2+b^2+c^2=a+b+c$$ lo que implica $$ (a-0.5)^2+(b-0.5)^2+(c-0.5)^2=0.75$$ Me llamó la atención hasta aquí, les agradecería si alguno me ayuda aquí