Un anillo graduado $R$ es gradual local iff $R_0$ es un anillo local?

Question

Actualización: he copiado esta pregunta a mathoverflow.net:

http://mathoverflow.net/questions/100755/a-graded-ring-r-is-graded-local-iff-r-0-is-a-local-ring

a ver si me da todas las respuestas allí.

---

Deje $R$ $\bf{Z}$- graduada de anillo (con la no conmutatividad supuestos de ningún tipo). Recordemos que $R$ es "gradual local" si equivale a las siguientes condiciones:

1. $R$ tiene un único homogéneo izquierda ideal que es máxima entre el buen homogénea izquierda ideales;

2. $R$ tiene un único homogéneo ideal de derecho que es máxima entre el buen homogénea derecho ideales;

3. $R\neq 0$ y la suma de dos homogénea no unidades es de nuevo un no-unidad.

Nota, en particular, que (3) nos dice que $R_0$, el anillo de grado 0 elementos, es un anillo local.

Pero a mí me parece que lo contrario es cierto. Que es, a mí me parece que un $\bf{Z}$-graduado anillo de $R$ es "gradual local" si y sólo si $R_0$ es un anillo local. Ya que esto parece un poco sospechoso, he venido aquí para averiguar si este es realmente el caso.

Aquí está mi argumento: Deje $J^g(R)$ denotar la intersección de todos los homogéneo izquierda ideales que son máximas entre el buen homogénea izquierda ideales. (Esta es la "gradual Jacobson radical". Tenga en cuenta que debe ser de al menos uno de esos de "máxima homogénea izquierda ideal", ya $R\neq 0$). Como una intersección de una adecuada homogénea izquierda ideales, $J^g(R$) es un buen homogénea izquierda ideal. Me dicen que es máxima entre el buen homogénea izquierda ideales, y por lo tanto es el único ejemplo de "máxima homogénea izquierda ideal".

Considere la posibilidad de un homogénea izquierda ideal $I$$J^g(R) \subsetneq I$. Desde $I$ es homogénea, existe un elemento homogéneo $a\in I$$a \not\in J^g(R)$. Desde $a$ no $J^g(R)$ existe una máxima homogénea izquierda ideal $\frak{m}$$a \not \in \frak{m}$. Bien, $R a + \frak{m}$ es homogénea a la izquierda ideal, así que por maximality de $\frak{m}$, $1=ra + m$ para algunos $r\in R$$m \in \frak{m}$. Tomando el grado 0 de los componentes tenemos $1=r_0a + m_0$ donde $m_0$ es un grado cero del elemento en $\frak{m}$ $r_0a$ también es homogénea de grado 0. Así, desde la $R_0$ es local, ya sea a $m_0$ o $r_0a$ es una unidad. Pero $m_0$ no puede ser una unidad (ya que estaría en contradicción con el propio de $\frak{m}$). Por lo tanto $r_0a$ es una unidad. En particular, $r_0a$ es de la izquierda es invertible, y por lo tanto $a$ es también el de la izquierda es invertible. Por lo tanto, $I=R$. Llegamos a la conclusión de que $J^g(R)$ es de "máxima homogénea izquierda ideal" y, por tanto, es el único ejemplo.

Se puede ver cualquier problema con esto? Es realmente cierto que un $\bf{Z}$-graduado anillo de $R$ es gradual local iff $R_0$ es local?

Actualización: está claro que un $\bf{N}$-graduado anillo de $R$ es "calificada local" iff $R_0$ es local. (Si ${\frak m}_0$ es la única máxima de la izquierda ideal de $R_0$ ${\frak m} := {\frak m}_0 \oplus \bigoplus_{d>0} R_d$ es la única máxima de la izquierda ideal de $R$.) Pero el (fácil) argumento para $\bf{N}$-graduado anillos no funciona para $\bf{Z}$-graduada de anillos.

Answer 1

Creo que hay una escuela primaria de la prueba, pero vamos a ver.

Estoy confiando en:

1. No siempre existe la máxima adecuada homogénea derecho ideales (por el habitual Lema de Zorn argumento.)

2. La suma de dos homogénea derecho de los ideales es una vez más homogéneos.

Supongamos $M$ $N$ son distintos máxima homogénea derecho de los ideales. A continuación,$M+N=R$, y no existe $m+n=1$$m\in M$$n\in N$. Debido a la clasificación, el grado cero de las piezas debe ser tal que $m_0+n_0=1$, y debido a $M$ $N$ son correcta y homogénea, ni $m_0$ ni $n_0$ pueden ser unidades de $R_0$. Esto implica $R_0$ no es local.

Por contrapositivo entonces, nos han demostrado que si $R_0$ es local, entonces $R$ se clasifica local.