Centro de finitely generado grupo

Question

Me podría dar un ejemplo (con prueba) de un finitely generado grupo con un no finitely generado centro?

Answer 1

Aquí es un ejemplo que he encontrado recientemente (que, desgraciadamente, completamente destrozado una prueba de que yo estaba trabajando en el momento).

Comience con una cubierta de grupo $N$ de un infinito primaria abelian $p$-grupo para un primer $p$. Este no es el único, pero si elegimos $p$ impar, entonces podemos hacer es tener exponente $p$. A continuación, $N$ tiene una presentación

$\langle\ y_i, z_{jk}\ (i,j,k \in \mathbb{Z}, j<k) \mid [y_j,y_k] = z_{jk}\ (j<k),\ z_{jk} {\rm\ central},\ y_i^p=z_{jk}^p=1\ \rangle.$

Este grupo tiene un automorphism de infinito el fin de que los mapas de $y_i \mapsto y_{i+1}$, $z_{jk} \mapsto z_{j+1,k+1}$.

Tomar la semidirect producto de $N$ con una infinita grupo cíclico $\langle x \rangle$ la inducción de este automorphism, y el factor de la normal de cierre de los elementos $z_{j,j+t}^{-1} z_{j+1,j+t+1}$ todos los $t>0$. Esto produce un 2-grupo generador con la presentación

$\langle\ y_1, x \mid y_1^p=1, [y_j,y_k] {\rm\ central\ for\ all\ } j<k\ \rangle,$

donde $y_j$ es una abreviatura para $y_1^{x^j}$. Su centro es elemental abelian y generada por el conjunto infinito $[y_1,y_{1+t}]$$t>0$.