En $1.0000000000\cdots 1$ con un número infinito de $0$ ¿existe?

Question

En $1.0000000000\cdots 1$ (con un número infinito de $0$ en ella) existen?

Answer 1

En primer lugar, déjame decirte que la idea de que una secuencia infinita "termina con algo" es una idea sólida. Es perfectamente natural. La cuestión es que la secuencia no está indexada por $\Bbb N$ sino más bien por $\Bbb N\cup\{\infty\}$ , donde $\infty$ es otro punto, que se encuentra después de todos los números naturales.

La cuestión es que una "secuencia infinita" es una noción muy general. La gente suele pensar en secuencias que se indexan sólo con los números naturales (con su ordenación natural, claro). Pero a medida que vayas avanzando en tus estudios podrás encontrarte con otros objetos que se indexan utilizando otros conjuntos infinitos.

Y la razón por la que la gente suele limitarse a las secuencias indexadas por los números naturales es que para los números reales (y conceptos similares), estas secuencias son suficientes. En este caso, de los números reales, tenemos que cada número real puede definirse como un límite de cifras decimales, como otros han explicado, y por tanto $1.\underbrace{000\ldots}_{\text{infinite }0\text{'s}}1$ no es una definición de un número real.

Tenga en cuenta que este no es el límite de $1+(\frac1{10})^n$ , que coloquialmente podría escribirse como $1+(\frac1{10})^\infty$ . Ese límite sería el límite de $1.1,1.01,1.001,\ldots$ y se puede ver que en ningún punto de esta secuencia hay un número con infinitas $0$ que se escriben después de ella. Y efectivamente este límite sería igual a $1$ .

Esto también es diferente de la $0.999\ldots$ ya que se trata de una secuencia indexada por $\Bbb N$ que puede considerarse como el límite de sus segmentos iniciales. Mientras que una secuencia indexada por $\Bbb N\cup\{\infty\}$ no es el límite de sus segmentos iniciales, ya que ninguno de ellos incluye información sobre el último dígito.

Entonces, ¿existe? Sí. Sólo que no es un número real. Es una secuencia de dígitos indexados por algo que no es $\Bbb N$ .

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Por último, permítanme señalar que, en lo que respecta al concepto de infinito en el cálculo, no es único. Hay un infinito que significa valores arbitrariamente grandes, otro que significa valores negativos arbitrariamente grandes, hay infinitos que ignoran el signo en absoluto, cuando se habla de una función suave que puede ser diferenciada infinitas veces, el infinito aquí es de hecho "secuencia infinita" en lugar de los infinitos mencionados antes, y es un tipo de infinito completamente diferente.

Y hay otros infinitos que puedes encontrar, incluso en una clase de cálculo.

Answer 2

Las malas noticias:

Esa cadena de símbolos $$ 1.0\cdots01 $$ no tiene ningún significado como número real. El significado o más bien la semántica sería un mapeo válido de una cadena infinita $s$ por ejemplo, de $\Sigma^\omega$ ( enlace ), a $\mathbb{R}$ .

La representación en cadena de un número real de coma flotante en base $10$ por convención significa, por ejemplo $$ (1.0\cdots)_{10} = (\underbrace{d_0.d_1 d_2 d_3 \cdots }_{\mbox{string}})_{10} = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty d_k 10^{-k}}_{\mbox{real number}} $$ ¿Dónde quiere añadir esa última $1$ ¿dígito?

Las buenas noticias:

Podría ser otra cosa.

Por supuesto, puedes definir tu propia semántica y operaciones sobre las cadenas, pero lo más probable es que acabes con algo que se comporta de forma más o menos diferente a los números reales (como los flotadores IEEE finitos y sus operaciones no son lo mismo que el conjunto completo de números reales y las operaciones básicas sobre él, sino algo muy parecido).

Y las malas noticias: $\tiny \mbox{(c) by Asaf Karagila}$

Como el compañero Hyrkel notó, esa cadena finita que usé $$ [1] [.] [0] [.] [.] [.] [0] [1] $$ para sugerir una cadena infinita con dos extremos (prefijo " $1.$ " y el sufijo " $1$ ") y infinitas $0$ símbolos entre ellos también es problemático - se interpreta como una cadena ya.

¿Es una cadena adecuada? ¿Es incluso una cadena infinita adecuada? ¿Cómo podría reconocerla?

El siguiente paso sería atribuirle un significado, preferiblemente algún número, pero sólo argumentaré sobre las cuestiones anteriores que no son simples ya.

Los informáticos se ciñen a modelos matemáticos de máquinas como el autómata finito o el autómata de Büchi para razonar sobre las cadenas. Estas máquinas pueden aceptar o rechazar una cadena que se les presenta. Su proceso de reconocimiento se asemeja al proceso de un sensor que lee una cinta o pista lineal de izquierda a derecha. Incluso las variantes para cadenas infinitas actúan así.

El infinito aquí no es tan problemático por su tamaño, sino por su tamaño, sino más bien por su torpeza: ¿qué razón debería tener el autómata para detener el reconocimiento de la parte infinita y continuar con el sufijo finito? Las cadenas infinitas reconocibles parecen ser de la variante un extremo finito, un extremo infinito. (No me claven en esto)

No estoy seguro de si un autómata no determinista (con múltiples opciones posibles) Autómata de Büchi que acepte la cadena $1.0^\omega$ podría ser adecuadamente ampliarse para reconocer $1.0^\omega 1$ .

Yo lo intentaría añadiendo otro arco desde el estado final a sí mismo que está aceptando el final $1$ símbolo. Eso funcionaría para aceptar $1.0^\omega1$ pero también seguiría aceptando sólo $1.0^\omega$ . Eso hace que no sea muy útil, lo que no puedo distinguir es prácticamente lo mismo.

La solución es probablemente otro autómata que inicie el reconocimiento simultáneamente desde ambos extremos o algún mapeo que enumere la secuencia infinita alternando desde ambos lados a la vez, algo así como $$ (1 1) \, (. 0) \, (0 0) \cdots $$ esto recurriría a las estructuras establecidas, pero no tengo conocimiento de tales planteamientos.

Answer 3

En análisis real, $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1+\frac{1}{10^n}\right )=1$$ Aunque no signifique nada decir "número infinito de ceros" en el análisis real, podemos suponer que este número es igual a $1$ .

Pero en el campo de los números surrealistas, no es lo mismo. Este número existe y será igual a $1+\frac{1}{\omega}$ si se considera que el número infinito de ceros es $\omega$ .

Answer 4

Si una secuencia $1.00000\dots $ es infinito no puede tener fin $\cdots 0001$ . Infinito significa interminable.

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Una secuencia finita es una línea de objetos (matemáticos) $a_0,a_1,a_2,\dots, a_n$ . Pero parece que hay un desacuerdo sobre lo que es una secuencia infinita. Al menos yo no estoy de acuerdo.

Obviamente, el objeto $a_k$ representan una función $k\mapsto a_k$ con índices ordenados $k$ ¿pero podría ser cualquier función? Debido a Wikipedia:

De forma más precisa, una secuencia puede definirse como una función cuyo dominio es un conjunto contable totalmente ordenado, como los números naturales.

En ese caso, una función $\mathbb N\cup\{\infty\}\rightarrow A$ (para algún conjunto $A$ ) es una secuencia $a_0,a_1,a_2,\dots$ con un último elemento $a_\infty$ sin un elemento inmediatamente anterior en la secuencia.

En mi intuición y en mi opinión cualquier elemento de una secuencia, excepto el primero, tiene un elemento inmediatamente anterior.

Latín: sequentia ("un seguimiento").

Sin embargo, es posible generalizar a las "bi-secuencias" $(S_1,S_2)$ cuando $S_1=(1,0,0,\dots)$ es la secuencia inicial y $S_2=(\dots,0,0,1)$ es la secuencia termimal, y definir una aritmética para los "números" definidos por las bi-secuencias como $(S_1,S_2)$ .

Answer 5

Como dijo @Lehs, infinito significa infinito - cada valor entero $n$ es finito, por lo que si se asume una secuencia infinita de dígitos "cero", entonces cualquier número $n$ que usted piensa, el $n$ -La posición 0 es la que contiene el dígito 0. Por lo tanto, no hay ningún espacio en el que se pueda añadir "uno".