La definición de un logaritmo es:
Si $$x^y=a$$ Entonces $$\log_xa=y$$
Teniendo en cuenta esta definición, ya que $$e^{i\pi}=-1$$
Entonces no debería $\ln(-1)=i\pi$ ? ¿Qué tiene de malo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es indefinido .
De hecho, Ahlfors El tratamiento del análisis complejo comienza con la exponenciación y los logaritmos. Como señalan los demás comentarios, una vez que se aceptan los valores complejos, hay un problema inherente, ya que la unicidad falla: Si $t=e^z$ entonces también $t=e^{z+2n\pi i}$ para cualquier número entero $n$ por lo que hay que elegir cuál de estos infinitos valores $z+2n\pi i$ se distinguirá como "el" logaritmo de $t$ .
Sin embargo, podemos elegir los valores del logaritmo de forma que la función resultante sea continua (de hecho, analítica) a costa de que no esté definida en todas partes en $\mathbb C\setminus\{0\}$ : Tenemos que eliminar al menos una línea del perforado línea plana para que el dominio del logaritmo no contenga un bucle alrededor del origen; la continuidad impone esta restricción; piense en $e^{i\theta}$ para $0\le\theta\le2\pi$ , obtenemos una discontinuidad una vez que hemos terminado de recorrer el bucle. Nos referimos a esta elección de dominio como una elección de rama . Esta pregunta se discute más a fondo el porqué de esta necesidad.
Cuando se elige como dominio $\mathbb C\setminus\{x+0i\mid x\le 0\}$ con $\log (a+ib)$ siendo el número $\ln\sqrt{a^2+b^2}+i\arctan(b/a)$ con la arctangente $\theta$ elegido así $-\pi<\theta<\pi$ lo llamamos el Sucursal principal , que se suele denominar $\mathrm{Log}(z)$ .
