Intuitiva explicación de por qué se $\dim\operatorname{Im} T + \dim\operatorname{Ker} T = \dim V$

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil entender verdaderamente el significado de la $\dim\operatorname{Im} T + \dim\operatorname{Ker} T = \dim V$ donde $V$ es el dominio de una transformación lineal $T:V\to W$. He utilizado esta ecuación varias veces en muchos problemas, y he superado la prueba y creo que lo entiendo completamente, pero no entiendo el razonamiento intuitivo detrás de él. Te agradecería una explicación intuitiva de la misma.

Para que quede claro, yo no entiendo la ecuación en sí, soy capaz de utilizar, y sé cómo demostrarlo; mi pregunta es ¿cuál es el significado de esta ecuación a partir de un álgebra lineal perspectiva.

Answer 1

Me gusta pensar que es una forma de conservación de la dimensión. Si usted tiene un mapeo lineal, a continuación, se actúa sobre cada una de las dimensiones del dominio (esto es una consecuencia de la linealidad de las asignaciones de ser completamente determinado por su acción en cualquier base de un espacio).

Hay sólo dos posibilidades para cada dimensión, se conserva o se comprime (es decir, llevado a $\mathbf{0}$). La red de la dimensión de la comprimido parte del dominio es su nulidad, es decir, la dimensión de su núcleo. La red de dimensión que se conserva es su rango, es decir, la dimensión de su espacio de imagen. Esto le da una comprensión intuitiva de la clasificación de nulidad teorema.

Como nota, si usted toma un minuto y pensar profundamente, a continuación, te das cuenta de que este argumento es esencialmente el mismo que el de las proyecciones que trb456 mencionado.

Answer 2

Usted puede pensar acerca de la Clasificación de Nulidad Teorema geométricamente en términos de lo que se denomina fibras de más de puntos.

Pensar el caso de que su asignación de $f: U \to V$ es surjective, y considerar la asignación de $f^{-1}: V \to 2^U$ que toma cada punto de $p \in V$ a es preimagen $f^{-1}(p)$ (llamados de fibra de más de $p$)$U$. Usted puede comprobar fácilmente que las fibras son subespacios afines de $U$ paralelas entre sí (cada punto en $U$ pasa a través de exactamente uno de fibra). Además, la fibra pasa a través de $0 \in U$ es exactamente $\ker f$.

Usted puede por lo tanto la imagen $U$ como ser separados en número infinito de capas delgadas, como una roca sedimentaria:

A partir de esto se puede ver fácilmente que únicamente para especificar un punto en $U$ primero puede especificar una fibra (el conjunto de fibras de ser parametrizada por $V = \operatorname{im} f$) y, a continuación, especifique un punto en una fibra (que es (no de forma exclusiva) con parámetros por $\ker f$). Esto le da el Rango de-Nulidad Teorema: $$\dim \ker f + \dim \operatorname{im} f = \dim U.$$

Por ejemplo, en el caso de una asignación de $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\; (x, y) \to x + y$, las fibras se satisface una ecuación de la forma $y = a - x$ algunos $a \in \mathbb{R}$. Se puede comprobar que aquí $y + x = a - x + x = a$, de hecho, no depende ni de la $y$ o $x$.

Ahora, ¿cuántas variables independientes ¿necesita especificar un punto en $\mathbb{R}^2$? Usted necesita una variable ($a$) para especificar una fibra (de manera equivalente, un punto en $\mathbb{R}$), y otra (por ejemplo, $x$) para especificar un punto en la fibra (dos grados de libertad, como se esperaba!

La Clasificación de Nulidad teorema establece que para cualquier surjective lineal de asignación de $f: U \to V$, en cualquier dimensión que se puede utilizar el mismo truco para poder parametrizar cualquier punto en $U$. Lo mismo vale para cualquier no-surjective lineal de asignación, por supuesto, usted sólo tendrá que corestrict a su imagen.

Alternativamente, usted puede dibujar otra línea a través de $0 \in \mathbb{R}^2$ distinta de la de $\ker f$. Se puede mostrar fácilmente que recorre cada fibra de $f$ exactamente una vez, así que usted puede utilizar para parametrizar las fibras más explícitamente: identificar esta línea con $\operatorname{im} f$, entonces para cualesquiera dos puntos en $\ker f$ $\operatorname{im} f$ que únicamente pueden obtener el punto correspondiente de $\mathbb{R}$ usando la regla del paralelogramo. Rango-Nulidad de los estados que puede hacer este tipo de cosas en cualquier dimensión y en cualquier $f$ (en lugar de líneas que tendrá afín subespacios de diferentes dimensiones, aunque).

Esta es una imagen geométrica de lo que está pasando.

Answer 3

Tal vez pensar en términos de proyecciones? Lo que T no se proyecta en la imagen debe desaparecer; es decir, está en el núcleo. Esta es la razón por la que es el dominio de la dimensión que importa. La imagen es de una inyección en la gama, así que tiene la misma dimensión que la correspondiente preimagen en el dominio. La imagen del kernel es sólo cero, por lo que es la dimensión del núcleo en el dominio de lo que importa.

Answer 4

$T$ se define sobre todo de $V$, su imagen debe ser en la mayoría de los grandes como $V$; por otro lado, podría ser que algo falta. Esto significa que "se va a la nada" y "nada", en este caso, es el vector cero.

Como trb456 dice que una manera de pensar es esta (que es la misma cosa que la prueba va a través de): un vector en $V$ mapas en algo que es cero o no. Cuando usted haga esto para cada vector en $V$, entonces se puede comprobar que todos los no-cero las imágenes son de un espacio vectorial (como en el núcleo), lo que significa que ya todo se va a un lugar, la base de $V$ debe ir a algunos ceros y unos no-ceros.

Esto puede ser un poco confuso. Si es así, hágamelo saber y voy a tratar de aclarar.