Sólo he encontrado un punto crítico el uso de multiplicadores de Lagrange. Debe ser un minimizer?

Question

Estoy tratando de minimizar

$$V(x,y,z) = \frac {a^2b^2c^2}{6xyz}$$

sujeto a

$$\frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1$$

y para $x,y,z>0$.

He encontrado un punto crítico, la evaluación se da un valor de la función de

$$V= \frac {\sqrt{3}}{2}|abc|$$

Esto está de acuerdo con la solución que estoy buscando, pero ¿por qué tienen que ser de un mínimo?

Gracias,

Answer 1

El multiplicador de Lagrange método no dirá qué tipo de punto crítico de que usted haya encontrado. Generalmente, nos gustaría evitar esto diciendo que el dominio es compacto y la función objetivo es suave, por lo que el mínimo se alcanza en un punto crítico o en el límite. Pero en este caso, el dominio no es compacto, ya que no está cerrada, y su función objetivo no puede ser fácilmente extendido para el cierre de la de dominio.

Así que hay que hacer algo ligeramente diferente, pero el mismo espíritu. La idea es notar que cerca de $x=0,y=0$ o $z=0$, su función objetivo se hace muy grande. Así que el mínimo no puede ser en algún barrio pequeño de estos puntos. Así que usted puede modificar $x,y,z>0$ a $x,y,z \geq \delta$ donde $\delta$ es algún número positivo. A continuación, el dominio se convierte compacto y se puede utilizar el argumento he sugerido anteriormente. Si de alguna manera el mínimo se alcanza en $x=\delta,y=\delta$ o $z=\delta$, a continuación, sólo hacer $\delta$ más pequeño. Finalmente, el mínimo no puede estar allí, ya que su función objetivo golpes a a $+\infty$ cerca de la frontera.

Answer 2

Cuando se acercan al límite (es decir, cuando $x \searrow 0$, $y \searrow 0$ o $z \searrow 0$), la función de $V$ va al infinito. Por lo tanto se puede asumir que

• $V$ admite ningún máximo en el dominio considerado
• Si $V$ admite un mínimo, no será dentro de un $\varepsilon$-rango de la frontera.

Así que usted puede agregar las condiciones de $x \ge \varepsilon, y \ge \varepsilon$ $z \ge \varepsilon$ $\varepsilon > 0$ lo suficientemente pequeño. Esto hace que su nuevo dominio de definición compacto, por tanto, la función alcanza un mínimo y un máximo en este nuevo dominio. Sin embargo, desde nuestra función va al infinito como $x \searrow 0$ (resp. $y$ $z$ ), podemos asumir que el máximo se alcanza si y sólo si $x,y$ o $z = \varepsilon$ ; en otras palabras, que los valores en la frontera son grandes, por lo tanto nunca mínima. Así que el mínimo no puede estar en el límite, por lo tanto debe estar en el interior. Si usted encuentra sólo un punto crítico en el interior, tiene que ser de un mínimo desde el mínimo existe y es un punto crítico.

Espero que ayude,