Cómo mostrar que $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt{2006}}}}<2$

Question

$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt{2006}}}}<2$. Me costó, pero yo no encuentro ningún patrón para resolverlo.

Answer 1

Idea: puede desenvolver como este:

$$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt{2006}}}}<2$$

si

$$\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt{2006}}}<2^2-1$$

si

$$\sqrt{3+\cdots+\sqrt{2006}}<(2^2-1)^2-2$$

y así sucesivamente, por lo que queremos mostrar

$$2006 < (((2^2-1)^2-2)^2-\cdots)^2-2005$$

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así se podría demostrar por inducción para todos los $n$ más que acaba de 2006, por lo que tenemos que mostrar que

$$n+1 < (((2^2-1)^2-2)^2-\cdots)^2-n$$

implica

$$n+2 < ((((2^2-1)^2-2)^2-\cdots)^2-n)^2-(n+1)$$

pero eso es sólo

$$2n+3 < ((((2^2-1)^2-2)^2-\cdots)^2-n)^2$$

que tiene ya

$$2n+3 < (n+1)^2$$

para todos los $n>1$.

Answer 2

$$\begin{aligned}\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots \sqrt{n}}}}&<\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{2^2+\cdots \sqrt{2^{2^{n-1}}}}}}\\&<\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{2^2+\cdots }}}\\&=\sqrt{1+\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}\\&=\sqrt{1+\sqrt{2}\phi}\\&<2\end{aligned}$$

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Podemos obtener un mejor destino al límite de romper el patrón un poco más abajo de la línea:

$$\begin{aligned}\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots \sqrt{n}}}}&<\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{2^2+\cdots}}}}\\&=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+2\sqrt{1+\cdots }}}}\\&=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{5}}}}\approx 1.7665398\end{aligned}$$

$$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots }}}\approx 1.7579327$$