Dada una base de dos conjuntos de un número finito de espacio de Hilbert, hace un imparcial vector de existir?

Question

Deje que $\{A_n\}$ y $\{B_n\}$ dos bases para un $$N-dimensional espacio de Hilbert. ¿Existe un vector unitario $V$ tales que:

$$(V\cdot A_j)\;(A_j\cdot V) = (V\cdot B_j)\;(B_j\cdot V) = 1/N\;\;\; \ \text{para todo} \ 1\le j\le N?$$

---

Notas y aplicación:
Que $\{A_n\}$ y $\{B_n\}$ son bases significa que
$$(A_j\cdot A_k) =\left\{\begin{array}{cl} 1&\;\text{si }j=k,\\ 0&\;\text{en caso contrario}.\end{array}\right.$$

En la física de la notación, uno podría escribir $V\cdot A_j = \langle V\,|\,A_j\rangle$. En la mecánica cuántica, $P_{jk} = |\langle A_j|B_k\rangle|^2$ es la "probabilidad de transición" entre los estados $A_j$ y $B_k$. "Imparcial" significa que no hay ninguna preferencia en las probabilidades de transición. Un tema muy estudiado en la teoría de información cuántica es "mutuamente imparcial bases" o MUBs. Dos mutuamente imparcial bases de satisfacer
$|\langle A_j|B_k\rangle|^2 = 1/N\;\;$ para todo $j,k$.

Si es cierto que el vector $V$ siempre existe, entonces uno puede multiplicar las filas y columnas de cualquier matriz unitaria por fases complejas, así como para obtener un unitaria de la matriz donde cada fila y columna de forma individual sumas de dinero a uno.

---

Si es cierto, entonces $U(n)$ puede ser escrita de la siguiente manera:
$$U(n) = \exp(i\alpha) \begin{pmatrix}1&0&0&0...\\0&e^{i\beta_1}&0&0...\\0&0&e^{i\beta_2}&0...\end{pmatrix} M \begin{pmatrix}1&0&0&0...\\0&e^{i\gamma_1}&0&0...\\0&0&e^{i\gamma_2}&0...\end{pmatrix}$$ donde las letras griegas dar fases complejas y donde $M$ es una "magia" unitaria de la matriz, es decir, $M$ tiene todas las filas y columnas de forma individual sumar 1.

Y $M$ puede ser escrito $M=\exp(im)$ donde $m$ es Hermitian y tiene todas las filas y columnas suma a 0. Lo significativo de esto es que los $m$ form una Mentira álgebra. Así unitaria de las matrices pueden ser considerados como fases complejas, además de una Mentira álgebra. Esta es una nueva descomposición de matrices unitarias.

Desde $m$ es Hermitian y tiene todas las filas y columnas suma a 0, es equivalente a un $(n-1)\times(n-1)$ Hermitian matriz con ninguna restricción en la fila y la columna de sumas. Y esto muestra que $U(n)$ es equivalente a fases complejas añadido a un objeto (el $M$ matrices) que es equivalente a $U(n-1)$. Esto da una definición recursiva de matrices unitarias enteramente en términos de fases complejas.

Answer 1

Creo que la respuesta sea sí, y sigue por algunos geometría simpléctica de Lagrange intersecciones.

Deje que $U$ ser unitario de la matriz de modo que $B_j = U A_j$. Sin pérdida de la generalidad, supondremos también que $A_j = e_j$. Esto significa que $B_j = U e_j$.

Vamos a identificar a $\mathbb C^N = \mathbb R^{2N}$.

Entonces, la primera condición en el vector $V$ es que: $$ |(V, e_j)|^2 = \frac{1}{N}, j=1, \dots, N $$ Esto es equivalente a decir que $V = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum \mathrm e^{i \theta_j} e_j$, o, en otras palabras, que $V$ radica en la Lagrange toro en $\mathbb R^{2N}$ con la norma simpléctica estructura $\sum dx_j \wedge dy_j$, que se define por $\{ |x_j|^2 + |y_j|^2 = \frac{1}{\sqrt{N}} \}$.

La segunda condición en $V$ es que $$ |(V, U e_j)|^2 = \frac{1}{N}. $$ Por lo tanto, $U^* V$ también debe estar en el torus $L$. Por lo tanto, el vector $V$ existe si y sólo si $L \cap UL$ es no vacío.

(Nota: la primera condición le otorga automáticamente que $V$ es un vector unitario.)

Ahora, no veo cómo tomar ventaja de la linealidad en este problema, así que voy a utilizar una increíblemente alta potencia de la teoría (Floer teoría). Si puedo pensar en una mejor solución, voy a actualizar.

Observe que la acción de $U$ en $\mathbb C^N$ induce un mapa en $\mathbb CP^{N-1}$. Además, si escribimos $U=\mathrm{e}^{iH}$ para un Hermitian $H$, entonces $U$ es el tiempo-1 mapa de la Hamiltoniana flujo generado por el Hamiltoniano $$h(v) = \frac{1}{2} \Re (v, Hv).$$

Por último, tomamos nota de que $L$ proyectos para el toro de Clifford $L'$ en $\mathbb CP^{N-1}$. Es conocido por Floer teórico razones (no estoy seguro que demostró por primera vez... ahora hay muchas pruebas en la literatura), que el toro de Clifford no es Hamiltoniano desplazables, así siempre debe existir un punto de intersección. Después de la normalización, esto lleva a un punto de intersección en $\mathbb C^N$, como se desee.

Tenga en cuenta que el Floer homología argumento es una herramienta muy poderosa. Yo la sospecha de que una mucho más simple prueba de ello, ya que este no utilizar la estructura lineal.

---

EDIT: al Parecer, mi uso del término "Clifford toro" no es estándar. Aquí es lo que yo quiero decir: Considere la posibilidad de $\mathbb CP^{N-1}$ como el cociente de la unidad de la esfera en $\mathbb C^{N}$ $S^1$ por acción de la multiplicación por una unidad número complejo (tal como la hemos definido aquí). En la unidad de la esfera hay una real $N$ dimensional toro dado en $|z_1| = |z_2| = \dots = |z_N| = \frac{1}{\sqrt{N}}$. La imagen de este $N$ dimensional toro por el cociente mapa es una $N-1$ dimensional toro en $\mathbb CP^{N-1}$. De manera equivalente, es el toro dada en coordenadas homogéneas en $\mathbb CP^{N-1}$ en $[e^{i \theta_1}, e^{i \theta_2}, \dots, e^{i \theta_{N-1}}, 1]$.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero no tengo la intención de trabajar en esto en las próximas dos semanas ;-), así que pensé en ponerlo aquí, y tal vez alguien puede completar.

Escrito $U_{jk}=\langle A_j\mediados de B_k\rangle$ (con $U$ unitario), se puede formular el problema como este: $V$ debe tener un componente de longitud de 1 $/\sqrt{N}$ a lo largo de cada $B_k$, por lo que se puede escribir como

$$V=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_k}B_k\;.$$

Entonces la condición de que las proyecciones sobre los $A_j$ también tienen duración de 1 $/\sqrt{N}$ se convierte en

$$\sqrt{N}\langle A_j \mediados de los V\rangle=\sum_k\langle A_j\mid\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_k} B_k\rangle=\sum_k U_{jk}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_j}\;.$$

Para manipular estos más fácilmente, podemos introducir la diagonal de las matrices $\Phi$ y $\Theta$ diagonal con los elementos de $\phi_k$ y $\theta_j$, respectivamente. A continuación, la condición se convierte en

$$U\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi}\vec{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Theta}\vec{1}\;,$$

donde $\vec{1}$ es el vector con todos los componentes de $1$.

Ahora todos unitaria de las matrices de $U$ puede ser escrito $U=\mathrm{e}^{\mathrm{i}H}$ con $H$ Hermitian, y por el contrario cada una de estas exponencial es una matriz unitaria. Por lo tanto, siempre podemos encontrar un vector $V$ para cualquier unitario $U$ si y sólo si siempre podemos encontrar $V$ para cualquier Hermitian $H$. En particular, se puede considerar que la uno-dimensional de la familia de matrices unitarias $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H}$ con Hermitian matriz $H$ y número real $\lambda$, y nuestro problema se convierte entonces en mostrar que para arbitrario $H$ podemos encontrar $V$ para todo $\lambda$. De esta manera se puede considerar que la ruta de acceso de la identidad, en donde sabemos que $V$ existe, a un arbitrario unitario de la matriz $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H}$ y reducir el problema a una ecuación diferencial a lo largo de este camino. Por lo tanto, dejar que $\Phi$ y $\Theta$ (pero no de $H$) dependen de $\lambda$, obtenemos

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi(\lambda)}\vec{1}= \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Theta(\lambda)}\vec{1}\;,$$

y diferenciando con respecto a $\lambda$ rendimientos

$$H\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi}\vec{1}+ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi}\Phi'\vec{1} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Theta}\Theta'\vec{1}\;,$$

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Theta}H\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi}\vec{1}+ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi}\Phi'\vec{1} = \Theta'\vec{1}\;,$$

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Theta}H \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Theta}\vec{1}+ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi}\vec{\Phi}' = \vec{\Theta}'\;,$$

donde el primer denota la derivada con respecto a $\lambda$ y $\vec{\Phi}'=\Phi\vec{1}$ y $\vec{\Theta}'=\Theta\vec{1}$ son reales los vectores que contienen los derivados de la $\phi_k$ y $\theta_j$, respectivamente.

Si nosotros tomamos la perspectiva que hemos llegado a una solución de $\Phi$, $\Theta$ en cierto $\lambda$ y desea determinar cómo $\Phi$ y $\Theta$ necesidad de cambio con respecto a $\lambda$ para mantener el estado a lo largo de la ruta, entonces podemos considerar que todo, excepto para $\vec{\Phi}'$ y $\vec{\Theta}'$ como dado, y obtenemos un sistema lineal de $N$ ecuaciones complejas para el $2N$ variables reales $\phi'_k$ y $\theta'_j$, que tendrá una única solución en el caso general. Si pudiéramos de alguna manera de demostrar que el sistema no puede convertirse en singular, se seguiría que tenemos una bien definida y bien portados sistema de primer orden ecuaciones diferenciales que dada las condiciones iniciales determina una solución única para el $\phi_k$ y $\theta_j$ en función de $\lambda$. Ya podemos empezar con diferentes ángulos de $\phi_k=\theta_k$ a la identidad, esto daría lugar a un $$N-dimensional de la familia de soluciones a lo largo de cada ruta. En caso de que el sistema de ecuaciones lineales puede llegar a ser singular, uno podría ser capaz de demostrar que hay al menos un miembro de esta familia de la que no.

[Modificar:] me di cuenta de que eso es en realidad una contradicción; no puede ser un $$N-dimensional de la familia de soluciones a lo largo de la ruta de acceso y todavía única derivados $\phi'_k$ y $\theta'_j$, debido a que los derivados podrían ser diferentes dependiendo de qué miembro de la familia que uno se mueve. Esto se resuelve mirando a la condición diferenciada en la identidad (es decir, $\lambda=0$), que podemos escribir como

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Theta}H\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Theta}\vec{1}=\vec{\Theta}'-\vec{\Phi}'\;.$$

El lado derecho es real, y que le da una condición de sobre $\vec{\Theta}$ (y, por tanto, en $\vec{\Phi}=\vec{\Theta}$) en la identidad que debe cumplirse para que $\vec{\Theta}$ a ser un punto de partida adecuado para soluciones a lo largo de la ruta $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda H}$. Estos son de $N$ la realidad de las condiciones para $N$ real de los parámetros, así que uno podría ser capaz de demostrar que esta condición tiene una solución. Como la unicidad, la solución no va a ser único, si $H$ tiene un vector de la base canónica ( $\vec{e}_j$ con $e_{jk}=\delta_{jk}$) como un vector propio (lo que significa que $A$ y $B$ a compartir una base de vectores de fase), y esto también conduce a la correspondiente underdetermination en el sistema lineal para $\vec{\Phi}'$ y $\vec{\Theta}'$. Por lo tanto, si uno quería utilizar este enfoque para mostrar la singularidad de la solución (Sam ya ha demostrado la existencia en el ínterin), la adecuada conjetura podría ser que la solución es única, hasta un arbitrario de fase para cada vector de la base canónica que es un autovector de $H$.

Answer 3

Tengo una sencilla prueba para el caso $N = 3$ en http://www.prespacetime.com/index.php/pst/article/view/58 .

Answer 4

He escrito una física de papel, "Unitario de la Mezcla de la Teoría de la Matriz" (para la presentación de Jour. De matemáticas. Phys.) que utiliza el Sam Lisi de la prueba. He traducido la prueba en el "lenguaje de la física", y no es raro que me he perdido algo. Véase la sección II, "de las Ecuaciones de Hamilton". La integridad, aquí está la versión actual:

---

Un Hermitian matriz genera un parámetro 1-subgrupo de matrices unitarias y cualquier unitario de la matriz es un elemento de un parámetro 1-subgrupo. Ya que estamos traduciendo el problema en la mecánica clásica usaremos $t$ para el parámetro. Por lo tanto:
$$U(t) = \exp (\; H).$$ y la central unitaria de la matriz de interés está dada por $U(1)$. Dado un estado inicial de $\vec{v}(0)$, el estado en vez de $t$ es definido por un conjunto de acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias:
$$\vec{v}(t) = U(t)\vec{v}(0) = \exp (\; H)\vec{v}(0)$$

El parámetro 1-subgrupo (y por lo tanto la matriz unitaria) están completamente definidas por la relación entre los $\vec{v}$ y $\dot{\vec{v}}$. En los componentes de:
$$\dot{v}_j = i\Sigma_k H_{jk}\;v_k.$$ Reemplazar las variables complejas con partes real e imaginaria:
$$v_k = p_k + iq_k$$ $$H_{jk} = r_{jk}+es{jk}$$ Si estos son compatibles con un Hamiltoniano $\mathbf{H}$, tenemos las ecuaciones de Hamilton:
$$\dot{q}_j = +\partial \mathbf{H}/\partial p_j = \Sigma_k(+r_{jk}p_k-s_{jk}q_k),$$
$$\dot{p}_j = -\partial \mathbf{H}/\partial q_j = \Sigma_k(-r_{jk}q_k-s_{jk}p_k).$$
Compatibilidad requiere que $s_{jk}=-s_{kj}$, lo cual es cierto ya que $H$ es Hermitian. La integración da el Hamiltoniano como: $$\mathbf{H} = \Sigma_{j\neq k}(r_{jk}(p_jp_k+q_jq_k)+s_{jk}p_kq_j)+\Sigma_{j}r_{jj}(p_j^2+q_j^2)/2.$$ Este Hamiltoniano, integrado por un período de tiempo $t$, da unitario de la transformación de la $U(t)=\exp(iHt)$. Tenga en cuenta que $\mathbf{H}$ es cuadrática en el momento y posición y así es una generalización de un oscilador armónico.

Los matemáticos estudian estos Hamiltonianos bajo la etiqueta de "geometría simpléctica." Aquí damos un breve y áspera introducción al lenguaje matemático. Deje que $\{\hat{e}_j\}$ ser una base para las posiciones como un espacio vectorial. Es decir, dada una posición de $\vec{p}=(q_1,q_2,...q_n)$, tratamos la suma de $\Sigma_j\hat{e}_jq_j$ como un elemento de un espacio vectorial. Del mismo modo, dejar que $\{\hat{f}_k\}$ ser una base para el momenta también con $$ n elementos. La combinación de la base de dos conjuntos de da una base para un $2n$-dimensional espacio vectorial $M$. Ahora definir un bilineal mapa de $\Omega$ en $M$ que actúa sobre la base de los conjuntos de la siguiente manera: $$\Omega(\hat{e}_j,\hat{e}_k)=\Omega(\hat{f}_j,\hat{f}_k)=0,$$ $$\Omega(\hat{e}_j,\hat{f}_k)=-\Omega(\hat{f}_k,\hat{e}_j)=\delta{jk}.$$ Sin $\Omega$, $M$ es el habitual "espacio de fases" de los físicos, pero los matemáticos prefieren llamar a la combinación de un "simpléctica espacio vectorial."

El mapa de $\Omega$ puede ser pensado como una forma de asociar las posiciones con ímpetus. Esto es, dados dos elementos $u,v$ de $M$ con $\Omega(u,v)=1$, podemos pensar en $u$ y $v$ como asociado de impulso. Por ejemplo, si $\Omega(q_1,p_1)=1,$ entonces $\Omega(p_1,q_1)=-1$ entonces $\Omega(p_1,-q_1)=1$. Por lo tanto podemos pensar de $p_1$ como una posición y $-q_1$ como asociado de impulso. Este uso sigue el sentido de la costumbre canónica (o de contacto) transformaciones familiares a la mecánica clásica. Este ejemplo es uno que se da normalmente en los libros de texto sobre el tema, podemos cambiar la posición de sus asociados impulso dado presentamos un signo menos.

La mecánica clásica es sobre el movimiento de los sistemas a través del espacio de fase. Supongamos que un sistema comienza en alguna posición en particular. Una pregunta de interés es "el sistema de retorno a la posición en el tiempo $t$?" Para responder a esta pregunta, consideramos que una posición fija con todos los ímpetus. Pero Hamilton ecuaciones pueden ser transformados en formas que mezcla la posición y el momentum. Para entender estas preguntas, necesitamos una definición de "posición inicial" que permite a cualquier posible la transformación de las ecuaciones de Hamilton.

Si el espacio de fase no se transforma, entonces los elementos apropiados de $M$ a considerar son aquellos con una posición particular y cualquier impulso. Esto es fácil de definir por el $\hat{e}_j,\hat{f}_k$ base a los elementos; nos vamos impulso en el subespacio generado por los $\hat{f}_k$. Un subespacio tiene dimensión $n$, sólo de la mitad de los $M$. De manera más general, considerar el impulso subespacio resultantes de cualquier canónica de transformación, junto con una especificación de posición. Un subconjunto de $M$ define un valor inicial problema en la mecánica clásica; los matemáticos llaman un subconjunto de un "submanifold de Lagrange".

Consideremos ahora el canónica de transformación a partir de $q_j,p_j$ $\rho_j,\sigma_j$ generadas por: $$F = \left(q_j\sqrt{\rho_j^2-q_j^2}+\rho_j^2\sin^{-1}(q_j/\rho_j)\right)/2.$$ Esto le da $p_j$ y $\sigma_j$ como: $$p_j = \partial F/\partial q_j = \sqrt{\rho_j^2-q_j^2},$$ $$-\sigma_j = \partial F/\partial \rho_j = \rho_j\sin^{-1}(q_j/\rho_j).$$ La solución para $p_j$ y $q_j$ en $\sigma_j$ y $\rho_j$ tenemos: $$p_j=\rho_j\cos(\sigma_j/\rho_j),$$ $$q_j=\rho_j\sin(\sigma_j/\rho_j).$$ Poner de $\rho_j=1$ en el nuevo coordenadas define un Lagrangiano submanifold de $M$ que $\rho_j^2=p_j^2+q_j^2=1.$ Y este subconjunto del espacio de fase corresponde a los vectores de las fases en el espacio de Hilbert. El nuevo impulso consiste en un producto de $n$ copias de fases complejas lo que puede ser llamado un toro, ya que también es de Lagrange, es un "Lagrangiano de toro". El toro como hemos definido tiene una fase de libertad. Es decir, si añadimos la misma fase $\alpha$ para todo $\sigma_j$, el resultado será un nuevo vector que es también un vector de fases y que representa el mismo estado cuántico. Esto es sólo la costumbre arbitraria de fase compleja presente en un estado cuántico vector. Para eliminarlo, los matemáticos prefieren identificar equivalente vectores y así trabajar con el equivalente de toro en $CP^{n-1}$.

Cheol-Hyun Cho3 se refiere a nuestra $CP^{n-1}$ toro como un "Clifford toro", una extensión de la definición habitual. Su papel es, quizás, la primera prueba de que el Hamiltoniano de flujo no puede "desplazar" dicho de un toro, es decir, de tal manera que ya no se cruza consigo misma. Otros documentos que prueban la existencia de la intersección son [4,5] y puede ser deducida a partir de [6-8]. Esto completa la prueba de que un imparcial en el estado existe para las dos bases. Además, ordenador de cálculo con random unitaria de las matrices no se pudo encontrar ningún contador de ejemplos y Philip Gibbs[9] demostró que el $n=3$ caso en 2009.

3 C.-H. Cho, "Holomorphic discos, spin estructuras, y floer cohomology de Clifford toro," Int. De matemáticas. Res. No. 35, 1803-1843 (2004), matemáticas / 0308224.
4 P. Biran y O. Córnea, "de Lagrange cuántica de homología," El Yashafest, Stanford (2007), de matemáticas.SG / 0808.3989.
5 P. Biran y O. Córnea, "la Rigidez y uniruling de lagrange submanifolds," Geom. Topol. 13, 28812989 (2009), de matemáticas.SG / 0808.2440.
6 C.-H. Cho y Y. G. Oh, "Floer cohomology de disco y instantons de lagrange toro fibras en fano tóricas de colectores," Asiático J. Math. 10, 773-814 (2006), matemáticas / 0308225.
7 M. Entov y L. Polterovich, "Cuasi-estados y simpléctica intersecciones," Eur. De matemáticas. Soc. 81, 75-99 (2006), matemáticas / 0410338.
8 K. Fukaya, Y. G. Oh, H. Ohta, y K. Ono, "de Lagrange floer teoría sobre compacta tóricas de colectores: encuesta", (2010), de matemáticas.SG / 1011.4044.
[9] P. Gibbs, "3x3 unitaria a la magia de la matriz de transformaciones" (2009), vixra 0907.0002.