El subproducto de los anillos es algo similar a la subproducto de monoids o grupos (aka gratis de los productos), sino que utilice $\otimes_\mathbb{Z}$ en lugar de $\times$ (de hecho, ambos son casos especiales de un general de la construcción que trabaja para monoid objetos en cocomplete monoidal categorías).
El subproducto de dos anillos de $R,S$ está construido de la siguiente manera: Vamos a $|R|$ $|S|$ el valor del subyacente $\mathbb{Z}$-módulos. Entonces se debe considerar la suma directa de tensor de productos
$\mathbb{Z} \oplus |R| \oplus |S| \oplus \bigl(|R| \otimes_\mathbb{Z} |S|\bigr) \oplus \bigl(|S| \otimes_\mathbb{Z} |R|\bigr) \oplus (|R| \otimes_\mathbb{Z} |S| \otimes_\mathbb{Z} |R|) \oplus \bigl(|S| \otimes_\mathbb{Z} |R| \otimes_\mathbb{Z} |S|\bigr) \oplus \dotsc$
Ahora nos mod a cabo las relaciones $x_1 \otimes \dotsc \otimes x_n \equiv x_1 \otimes \dotsc \otimes x_n \otimes 1 \equiv 1 \otimes x_1 \otimes \dotsc \otimes x_n$$ \dotsc \otimes x_i \otimes 1 \otimes x_{i+1} \otimes \dotsc \equiv \dotsc \otimes x_i x_{i+1} \otimes \dotsc $. El cociente tiene una multiplicación inducida por
$$(x_1 \otimes \dotsc \otimes x_n ) \cdot (y_1 \otimes \dotsc \otimes y_m) := $$
$$\left\{\begin{array}{ll} x_1 \otimes \dotsc \otimes x_n \otimes y_1 \otimes \dotsc \otimes y_m & x_n \in R, y_1 \in S \text{ or } x_n \in S, y_1 \in R \\ x_1 \otimes \dotsc \otimes x_n y_1 \otimes \dotsc \otimes y_m & x_n,y_1 \in R \text{ or } x_n,y_1 \in S\end{array}\right.$$
Obtenemos un anillo de $R \sqcup S$ con evidente homomorphism $R \rightarrow R \sqcup S \leftarrow S$. Es el subproducto: Dado $f : R \to T$$g : S \to T$, definimos $h : R \sqcup S \to T$ mediante la asignación de, por ejemplo,$x_1 \otimes x_2 \otimes x_3 \in |R| \otimes |S| \otimes |R|$$f(x_1) \cdot g(x_2) \cdot f(x_3)$. Esto es claramente un homomorphism de abelian grupos en la infinita suma directa, pero que respeta las relaciones y, por tanto, se extiende a un homomorphism en el cociente. Se comprueba que este es un homomorphism de los anillos; el único satisfacer $h|_R = f$$h|_S =g$.
La construcción de la $R \sqcup S$ es algo complicado, pero aviso de que sus elementos son sólo formales de sumas de productos de $R$ o $S$, por ejemplo,$r_1 + s_1 \cdot r_2 - r_3 \cdot s_2 \cdot r_4$. En realidad, esta es la forma en que uno viene con la construcción.
Como con todas las estructuras algebraicas, co-productos puede también ser descrito el uso de generadores y relaciones: Si $R \cong \mathbb{Z}\langle X \rangle / I$ $S \cong \mathbb{Z} \langle Y \rangle / J$ (para los conjuntos de variables de $X,Y$ e ideales $I,J$),$R \sqcup S = \mathbb{Z} \langle X \sqcup Y \rangle / (I+J)$. Esto es mucho más fácil que la construcción anterior, pero menos concretas, especialmente cuando no tenemos canónica de presentaciones.
Su idea, utilizando el olvido functor $U : \mathsf{Ring} \to \mathsf{Mon}$, también puede ser hecho para trabajar: $R \sqcup S = \mathbb{Z}[U(R) \sqcup U(S)]/I$, donde el ideal $I$ es generada por las relaciones $(r+r') \cdot 1 \equiv r \cdot 1 + r' \cdot 1$$1 \cdot (s+s') \equiv 1 \cdot s + 1 \cdot s'$. Estas relaciones exactamente garantía de que la canónica monoid homomorphisms $U(R) \to U(\mathbb{Z}[U(R) \sqcup U(S)]) \leftarrow U(S)$ levantar a anillo homomorphisms $R \to \mathbb{Z}[U(R) \sqcup U(S)]/I \leftarrow S$.
