Kähler métricas en el coadjoint órbitas de un compacto de Lie del grupo de

Question

Deje $G$ ser un compacto de Lie de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Es bien sabido que cada órbita de la coadjoint representación de $G$ $\mathfrak{g}^*$ lleva un simpléctica canónica de la estructura, conocida como la Kirillov-Kostant-Souriau forma simpléctica.

Por otra parte, he leído en un par de diferentes lugares a los que la coadjoint órbitas son también Kähler colectores:

Teorema. Deje $G$ ser un compacto de Lie del grupo, $\mathcal{O}$ un coadjoint órbita y $\omega$ su Kirillov-Kostant-Souriau forma simpléctica. Entonces, existe un único $G$-invariante Kähler métrica en $\mathcal{O}$ que es compatible con $\omega$.

Por ejemplo, este resultado se menciona en Robert Bryant notas de la conferencia Introducción a la Mentira de los Grupos y de la Geometría Simpléctica en la página 150, y al principio de este documento por Kronheimer.

Sin embargo, no he encontrado ninguna prueba de que el teorema. ¿Alguien sabe cómo demostrarlo o puede apuntar una buena referencia?

Según Bryant, no es "duro" para demostrar que "el uso de raíces y pesos". Pero yo no era capaz de hacerlo.

Answer 1

Supongamos que $G$ es compacto y semi-simple, vamos a $c\in {\cal G}^*$ el doble de ${\cal G}$, considere la posibilidad de ${\cal G}_c$ el estabilizador de $c$, e ${\cal,G}'_c$ su ortogonales para la Matanza métrica, se puede identificar el espacio de la tangente en $c$ de la coadjoint órbita a ${\cal G}'_c$. Si se restringen en la Matanza de ${\cal G}'_c$ obtener una métrica en el adjunto de la órbita, es esta métrica no define el Kahler con la estructura de Konstant Kirillov Souriau forma?

Answer 2

bueno, he echado un vistazo al prof. Bryant notas. Entiendo lo que quiere decir que no es difícil hacerlo, el uso de raíces y pesos. Sé que usted ha solicitado una prueba plena, pero en lugar de eso, voy a indicar cómo modificar la construcción de la Kahler métrica en coadjoint órbitas de $\mathfrak{U(n)}$, para que funcione en un coadjoint órbita de un arbitrario compacto de Lie semisimple grupo.

El medico Adjunto/adjuntos invariante bilineal simétrica forma puede ser sustituido por menos de la Matanza forma (menos para hacerlo positivo-definida). La diagonalización por una transformación unitaria "se convierte en" la declaración de que dado un elemento $x$$\mathfrak{g}$, existe un $g \in G$ (dependiendo $x$), de tal manera que $Ad_g(x) \in \mathfrak{t}$ donde $\mathfrak{t}$ algunos (fijo) elegido Cartan subalgebra.

En lugar de $U(n)_{\xi}$, reemplácelo con $G_{\xi}$, el estabilizador de la $\xi$$G$. El $1$-forma con valores en $\mathfrak{g}$, es decir,$g^{-1}dg$, va a ser reemplazado por el de la izquierda-invariante de Maurer-Cartan forma en $G$.

Finalmente, el 2 de fórmulas al final (en el Prof. Bryant notas del), debe ser modificada por la sustitución de la suma con una suma de más de una elección positiva de las raíces, y la sustitución de $\xi_j - \xi_k$ por un positivo de la raíz que actúan sobre un elemento en el Cartan subalgebra que está en la órbita de $\xi$ (en cierto sentido, un "diagonalización" de $\xi$, y ese elemento es único a la acción del grupo de Weyl en el Cartan subalgebra).

Eso es lo que probablemente Prof. Bryant significaba. Hay algunos detalles que necesitan ser revisados, por supuesto, pero en cualquier caso, espero que esto ayude.