En álgebra lineal, una matriz de $B$ se dice que es "similar" a $A$ si $B=C^{-1}AC$ $B$ = una matriz de $A$ multiplicado por una tercera matriz $C$, y su inversa, $C^{-1}$.
En regular álgebra, si tengo un número $x$, y se multiplica por $\frac{1}{2}$ y, a continuación,$2$, los últimos términos se cancelan, y me $x$, el mismo, y no un "similares" de la variable. ¿No le gustaría tener este resultado en álgebra lineal? Lo que me estoy perdiendo?
Dos matrices son semejantes si tienen el mismo transformación lineal, pero miró a través de una base diferente. Por ejemplo, si tomo una transformación lineal $T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ y mira las imágenes de, digamos, $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$, a continuación, voy a tener una matriz, $M_1$. Sin embargo, si miro las imágenes de otra base, dicen $(1, 2, 3)$, $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$, voy a tener una diferente de la matriz, $M_2$.
Fundamentalmente, $M_1$ $M_2$ son similares se consiguió a otro a través de la conjugación. Así que, curiosamente, son la misma transformación lineal, pero son diferentes matrices.
Sin embargo, el problema es que la multiplicación de matrices no es conmutativa en general. Tomar cualquiera de los dos $2\times 2$ matrices $A$ $B$ y, seguramente, $AB\neq BA$.
Los siguientes ejercicios son relevantes a su pregunta (todas las matrices que se supone que los ser $n\times n$ matrices cuadradas y $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$):
Ejercicio 1: Vamos a $A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$ y deje $B=\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix}$. Probar que:
(a) $AB\neq BA$ y
(b) $A^{-1}BA\neq B$.
Ejercicio 2: Probar que si $A$ $B$ son arbitrarias matrices y $B$ es invertible, entonces a $AB=BA$ si y sólo si $B^{-1}AB=A$.
Ejercicio 3: Deje $I$ denota la matriz identidad. Si $A$ es similar a $I$, luego de demostrar que $A=I$.
Ejercicio 4: Demostrar que la relación se $\equiv$ en el conjunto de todas las matrices definidas por la regla de $A\equiv B$ si y sólo si $A$ es similar a $B$ es una relación de equivalencia.
Ejercicio 5: Describir las matrices que constituyen una clase de equivalencia consiste de exactamente un elemento. ¿Existe una equivalencia de la clase que consiste exactamente dos elementos? Demostrar o dar un contraejemplo. Más generalmente, si $n$ es un entero positivo, no existe una equivalencia de la clase que consiste exactamente $n$ elementos? Demostrar o dar un contraejemplo. Finalmente, no existe una equivalencia de la clase consiste en un countably infinito número de elementos? Demostrar o dar un contraejemplo.
Ejercicio 6: Probar que si $A$ es una matriz tal que $AB=BA$ para todos los invertible matrices $B$, $A=cI$ para algunos escalares $c$ donde $I$ es la matriz identidad. Deducir que si $A\neq cI$ para cualquier escalar $c$, entonces existe una matriz $B\neq A$ tal que $B$ es similar a $A$. Por lo tanto similar matrices que no son iguales existen en abundancia.
Ejercicio 7: Vamos a $A$ ser una matriz y supongamos que $A$ es similar a una matriz diagonal $B$ donde todas las entradas de la diagonal de a $B$ son iguales. ¿Qué se puede deducir acerca de $A$?
Ejercicio 8: Si $A$ $B$ son diagonales de las matrices, a continuación, probar que $AB=BA$. Si $B$ es invertible, deducir que $B^{-1}AB=A$.
Ejercicio 9: Si $B=C^{-1}AC$ para algunos es invertible la matriz de $C$, luego de demostrar que $p(B)=C^{-1}p(A)C$.
Ejercicio 10: Deje $A$ ser una matriz y supongamos que $A$ es similar a una matriz diagonal. Deje $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ las entradas de la diagonal de esta matriz diagonal (se repite de acuerdo a la multiplicidad). Si $p$ es el polinomio definido por la regla $p(x)=(x-\lambda_1)\cdots (x-\lambda_n)$, luego de demostrar que $p(A)=0$.
Desafiantes Ejercicios:
El ejercicio de Un: Vamos a $A$ ser una matriz con entradas complejas. Demostrar que existe una matriz invertible $C$ con entradas complejas tales que $C^{-1}AC$ es una triangular superior de la matriz.
Ejercicio B: matriz $A$ reales o complejos entradas se dice que auto-adjoint si $A$ es igual a su transpuesta conjugada. (La conjugada transpuesta de a $A$ es la matriz obtenida tomando la transpuesta de a $A$ y, a continuación, tomar el complejo conjugado de cada una de las entradas de la transpuesta de a $A$.) Demostrar el teorema espectral; es decir, demostrar que existe una matriz unitaria $U$ tal que $U^{-1}AU$ es una matriz diagonal. (Recordemos que una matriz a es unitario si sus columnas forman una ortonormales tupla en $V$.)
Ejercicio C: matriz $A$ se dice normal si $AA^{*}=A^{*}A$ donde $A^{*}$ denota la transpuesta conjugada de $A$. Demostrar el complejo teorema espectral; es decir, probar que si $A$ es normal en la matriz con entradas complejas, entonces existe una matriz unitaria $U$ tal que $U^{-1}AU$ es una matriz diagonal.
Como se explicó anteriormente, el punto clave radica en el "no conmutativa" por la costumbre de la matriz producto.
El Hadmard (o entrywise) del producto, que también es muy útil en la teoría de la matriz, le da un ejemplo similar matrices son iguales. En ese caso, el invertible la matriz es una matriz cero de la entrada. La inversa de la matriz es entrywise la inversa de la matriz original.
Creo que las matrices son llamados similares porque están en la misma clase conjugacy. La similitud es una relación de equivalencia y por lo tanto particiones en el espacio de N x N de las matrices en diferentes clases de equivalencia. Esas matrices que son similares se consideran equivalentes. Equivalente en este caso significa (como user1729 dicho aquí ya) que son en realidad la misma transformación lineal visto desde dos diferentes opciones de base.
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