Una pregunta acerca de una prueba de Cayley Hamilton, utilizando el teorema de topología de Zariski.
"El conjunto de $C$ de todas las matrices de tamaño $n \times n$ (más de un algebraicamente cerrado campo de $k$) con los distintos autovalores es denso en la topología de Zariski".
Podemos argumentar de la siguiente manera?
Ya no vacía abrir establece en la topología de Zariski son densos en $k^{n}$ a continuación, se realiza si podemos mostrar el complemento de $C$, yo.e el conjunto de todas las matrices de tamaño $n \times n$ con la repetición de los autovalores es abierto en la topología de Zariski.
Ahora, para cada matriz $B$ del tamaño de la $n \times n$ calcular su polinomio característico $p_{B}$ y asociado a este polinomio su discriminante $D(p_{B})$. Ahora definir un mapa:
$f: \mathbb{A}^{n^{2}} \rightarrow \mathbb{A}^{1}$ $f(B)=D(p_{B})$ donde $\mathbb{A}^{n}$ indica el $n$-espacio afín. Estoy identificación de aquí a $\mathbb{A}^{n^{2}}$ con el conjunto de todas las matrices $n \times n$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$.
Aquí está mi pregunta. ¿Cómo sabemos que el mapa de $f$ es continua con respecto a la topología de Zariski? Si podemos demostrar que es continua y no hemos hecho? porque se puede tomar $\{0\}$ este es cerrado en $\mathbb{A}^{1}$ porque es finito, así que por la continuidad de $f$, $f^{-1}(\{0\})$ está cerrado en $\mathbb{A}^{n^{2}}$, pero este preimagen es exactamente el conjunto de todas las matrices con la repetición de los autovalores.
