Un elemento de $GL_n(\mathbb F_p)$ no puede tener orden $p^2$ si $n < p$

Question

Estoy preparando las pruebas de acceso a mi programa de posgrado y me he encontrado con este problema mientras estudiaba. Nuestro grupo de estudio llegó a una solución, pero quería preguntar si realmente era correcta, ya que después de reflexionar creo que hay un gran agujero. También tengo curiosidad por saber si hay una solución que no implique álgebra lineal.

El problema

Sea $G$ sea el producto directo de $n$ copias de $\mathbb Z_p$ donde $n < p$ . Demuestre que ningún automorfismo de $G$ tiene orden $p^2$ .

Solución

Es fácil ver que el grupo de automorfismo de $G$ es isomorfo a $GL_n(\mathbb F_p)$ por lo que basta con demostrar que ninguna matriz en $GL_n(\mathbb F_p)$ tiene orden $p^2$ . Sea $M \in GL_n(\mathbb F_p)$ satisfacer $M^{p^2} = I$ . Entonces $M$ satisface el polinomio $x^{p^2} - 1$ que sobre un campo de característica $p$ es igual a $(x-1)^{p^2}$ y se deduce que los valores propios de $M$ son todos $1$ . (Este es el paso potencialmente problemático: podría deducirse del teorema de Cayley-Hamilton y del hecho de que el polinomio característico de $M$ divide $x^{p^2} - 1$ pero no tengo claro que lo segundo sea cierto...)

Ahora que sabemos que $M$ sólo tiene $1$ como valor propio, consideremos la descomposición de Jordan de $M$ sobre el cierre algebraico $k$ de $\mathbb F_p$ . Consta de bloques de Jordan con valor propio (generalizado) $1$ de tamaño máximo $n < p$ lo que significa que el $p$ ª potencia de cada bloque es la identidad. Así, $M^p = I$ y $M$ no puede tener orden $p^2$ .

Answer 1

Puedes demostrarlo sin recurrir a la forma Jordan. Puesto que $(X-1)^{p^2}$ mata $M$ se sabe que el polinomio mínimo de $M$ es de la forma $(X-1)^k$ . Ahora las raíces de $\chi_M$ son los mismos que los del polinomio mínimo, y $\deg \chi_M=n<p$ Así que $(X-1)^n$ mata $M$ y lo mismo ocurre con $(X-1)^p=X^p-1$ .