Morir de hambre

Question

Primero de todo, siento que si voy a usar algunos términos relacionados, pero que es donde la pregunta que me fastidiaron la semana pasada vino.

Digamos, tenemos una reserva de maná de tamaño $M$, y podemos lanzar un hechizo que los costos de $n$,$n < M$. El hechizo tiene una probabilidad $p$ a darnos $kM$ de maná, donde ambos se $p$ $k$ son fijos constantes en el intervalo de $[0,1]$.

¿Cuál es la probabilidad de obtener maná de hambre, eso significa que, para acabar sin suficiente maná para lanzar más instancias de nuestra hechizo después de $t$ moldes?

edit : como primera ( y más simple ), podemos suponer $M = qn$$q \in N , q > 1$$kM = pn , p < q$ .

Answer 1

Tener hambre después de $q$ arroja si ha tenido más éxitos de $w$ y $(q+1)n \gt M+wkM$. La probabilidad de $w$ o menos éxitos es $\sum_{j=0}^w {q \choose j}p^j(1-p)^{(w-j)}$. Esto no garantiza que ya no han muerto de hambre.

Answer 2

Me puede dar una respuesta parcial para el caso de $M,n,kM\in\mathbb{N}$. En este caso, puede crear un modelo de su situación como una discreta de Markov de la cadena en $\{0,\dots,M\}$. El $M+1\times M+1$ de la matriz de transición $P$ es descrito por

$$P_{ij}=\cases{1 &\text{ if $i=j<n$}\\ 1-p &\text{ if $i\geq n, j=i-n$}\\ p & \text{if $i\geq , j=i+kM$}\\ p & \text{if $\geq (1-k)M, j=M$}\\0&\text{ otherwise.}}$$

Como un ejemplo, para $n=1, kM=2, M=4$ esto se parece a

$$P = \left(\matrix{1&0&0&0&0\\1-p&0&0&p&0\\0&1-p&0&0&p\\0&0&1-p&0&p\\0&0&0&1-p&p}\right)$$

La probabilidad de $q$ le interesa es

$$q = \sum_{i=0}^{n-1}P^{t}_{Mi}$$

No veo una buena forma corta para esta expresión, pero sin duda puede ser evaluado por un CAS.