¿Son las funciones del suelo de $0.999\cdots$ y 1 igual?
Es cierto que $0.999\cdots=1$ pero ¿cómo se justifica la parte entera de $0.999\cdots$ siendo 1 , cuando no lo es, o alternativamente sin utilizar $0.999\cdots=1$ ¿cómo podemos demostrar que $\lfloor0.999\cdots\rfloor = \lfloor 1 \rfloor$ ?
La función suelo es un discontinuo función. Esto significa que no se pueden intercambiar los límites antes y después de la acción de la función, es decir $f(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)\ne \lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ en general. En particular,
$$\lim_{n\to\infty}\left\lfloor 0.\underbrace{99\cdots9}_n \right\rfloor=\lim_{n\to\infty}0=0 $$
$\hskip 3.2in$ pero
$$\left\lfloor \lim_{n\to\infty} 0.\underbrace{99\cdots9}_n \right\rfloor=\lfloor1\rfloor=1. $$
Ahora la expresión $\lfloor0.999\dots\rfloor$ denota este último, que es $1$ pero intuitivamente y a ojo de buen cubero se nota que la función suelo evaluada en las sumas parciales siempre devuelve $0$ por lo que podríamos estar tentados de aceptar la primera fórmula anterior como la respuesta real, pero la apariencia $\ne$ la realidad en general.
La función del suelo $\lfloor x \rfloor$ es càdlàg ( continúa a la derecha, límite a la izquierda es decir, continua a la derecha con límites a la izquierda).
Como no hay ningún punto entre $0.999\ldots$ y $1$ y los números reales son continuos, esta continuidad correcta implica $\lfloor0.999\cdots\rfloor = \lfloor 1 \rfloor$ .
(Como la función de identidad también es càdlàg, se puede utilizar un argumento similar para demostrar $0.999\cdots = 1$ .)
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