Evaluación de la integral de superficie $\iint_{x^3+y^3+z^3=a^3} \frac{\bf{x}}{||\bf{x}||} \cdot d\bf{S}$

Question

Calcula la integral de superficie: $$\int_S({x\over \sqrt{x^2+y^2+z^2}}, {y\over \sqrt{ x^2+y^2+z^2}}, {z\over \sqrt{x^2+y^2+z^2}}) \cdot \vec n \ dS$$

donde $S: x^3+y^3+z^3=a^3$

La primera parametrización que se me ocurrió fue: $r(x,y)=(x,y,(a^3-x^3-y^3)^{1/3})$ pero la integral se vuelve muy difícil de calcular; también di

$$r(u,v)=(a(\cos(u)\sin(v))^{2/3},a(\sin(u)\sin(v))^{2/3},a(\cos(v))^{2/3})$$

(Estaba pensando en algún tipo de transformación esférica) pero entonces la integral se vuelve muy difícil de calcular. ¿Me pueden ayudar con este problema? Te lo agradecería mucho :)

Answer 1

Esta no es una respuesta completa. He hecho algunos progresos y he convertido la integral de superficie en una integral doble impropia. Así que cualquiera que quiera encontrar una solución puede utilizar el resultado final en este post.

Su superficie para $a=1$ y la relación $1:1:1$ entre el $x$ , $y$ y $z$ El eje tiene el siguiente aspecto

$\qquad \qquad \qquad \,\,$

por lo que no es una superficie cerrada y no podemos utilizar el teorema de la divergencia como se mencionó también en los comentarios. A continuación, observa que

$$\begin{array}{} g(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-a^3 \\ {\bf{F}} = \frac{\bf{x}}{\left\| {\bf{x}} \right\|}= {x\over \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\bf{i}} + {y\over \sqrt{ x^2+y^2+z^2}} {\bf{j}} + {z\over \sqrt{x^2+y^2+z^2}} {\bf{k}} \\ {d\bf{S}}= {1 \over {\partial{g} \over \partial z}} \nabla g \, dx dy \\ {1 \over {\partial{g} \over \partial z}}\nabla g=\frac{1}{z^2}(x^2 {\bf{i}} + y^2 {\bf{j}} + z^2 {\bf{k})} \\ {\bf{F}} \cdot {d\bf{S}} = \frac{x^3+y^3+z^3}{z^2 \sqrt{x^2+y^2+z^2}} dx dy = \frac{a^3}{z^2 \sqrt{x^2+y^2+z^2}} dx dy\\ \end{array}$$

y finalmente la integral de superficie se convierte en

$$\iint_{S} {\bf{F}} \cdot {d\bf{S}} = \int_{x=-\infty}^{+\infty} \int_{y=-\infty}^{+\infty} \frac{a^3}{z^2 \sqrt{x^2+y^2+z^2}}dydx \tag{*}$$

y observe que $z$ es una función de $x$ y $y$ por la relación

$$z=(a^3-x^3-y^3)^{\frac{1}{3}}$$

Ahora, uno puede trabajar en $(*)$ para obtener algún resultado.