¿Puede un conjunto ser infinito y limitado?

Question

No entiendo una afirmación de mi curso de matemáticas, estaba estudiando la parte de los juegos compactos del capítulo cuando en cierto momento hay un corolario diciendo :

cada infinito y delimitado parte de $ \mathbb {R^n}$ admitir al menos un punto de acumulación'.

porque para mí un conjunto es tan finito o infinito tan ilimitado.

No lo entiendo realmente porque puedo aceptar el hecho de que sin una métrica, los límites no tienen sentido en la topología, pero aquí $ \mathbb {R^n}$ se conoce claramente como un espacio métrico.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Cuando decimos que un conjunto es finito o infinito, nos referimos a la número de elementos en el conjunto, no a la "extensión" (por decirlo así) de esos elementos. Se puede pensar en ello de la siguiente manera. Cualquier conjunto cuyos elementos se encuentran entre (por ejemplo) $0$ y $1$ está acotado, porque ninguna parte del conjunto puede "ir al infinito". Pero está claro que es posible tener un número infinito de elementos en dicho conjunto. Por ejemplo, todos los reales entre $0$ y $1$ o todos los racionales entre $0$ y $1$ o simplemente todos los números $\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\,\}\,$ .

Answer 2

El conjunto de todos los números entre $0$ y $1$ es infinito y acotado. El hecho de que cada miembro de ese conjunto sea menor que $1$ y mayor que $0$ implica que está acotado.

Answer 3

Leibniz especuló sobre intervalos (en el tiempo y/o en el espacio) que son simultáneamente infinitos y también terminando (una forma de interpretar "acotado*). La presencia de tales conjuntos en su cálculo es lo que le llevó a considerar los números infinitos (e infinitesimales) como ficciones útiles para disgusto de muchos de sus discípulos que tenían una visión más realista de los infinitesimales.

En un marco hiperrealista moderno, sí se puede tener un intervalo infinito $[0,H]$ que, sin embargo, está acotado (por un hiperreal infinito).

Answer 4

infinito se refiere al cardinal del conjunto.

limitado se refiere a los valores.

$(1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4} ...)$ es un conjunto que define un número infinito de valores, todos ellos incluidos en el intervalo $(0, 1]$

Es infinito y limitado .