$\int_0^1\frac{f^2(t)}{t(1-t)}dt \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f'(t)^2 dt$ Please note that the translation does not change the HTML tags as requested.

Question

Sea $f\in C^1([0,1],\mathbb R)$ tal que $f(0)=f(1)=0$

Probar que $\displaystyle \int_0^1\frac{f^2(t)}{t(1-t)}dt \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f'(t)^2 dt$

Lo primero que me preocupa es que el LHS es una integral impropia.

Nota que $\displaystyle \int_0^1 f'(t)dt =0$.

Intenté integración por partes, pero no puedo llegar al RHS.

Answer 1

Esto es más como un comentario que como una respuesta pero tenemos:

$$\displaystyle \int_0^1 \left(\frac{1}{2} f'(t)^2 - \frac{f^2(t)}{t(1-t)}\right) dt = \frac{1}{2}\int_0^1 \left(f'(t) - \frac{1-2t}{t(1-t)}f(t) \right)^2\,dt \ge 0$$

Q.E.D.