Descargo de responsabilidad: este tipo de pruebas son muy difíciles de describir sin la ayuda de imágenes. Así que voy a tratar de dar la idea, y no voy a decir que la folloing es una completa prueba formal.
Ahora, considere por simplicidad en el caso de $g=1$. Usted tiene una sólida torus $S$ que corte horizontal thik avión $P$ (el barrio del avión).
$P$ es, naturalmente, fibrado por los segmentos verticales de modo que es un producto de un intervalo de un avión.
El límite de $T$ $S$ se cruzan $P$ en dos anillos, que son fibrado por los segmentos verticales. $P$ tiene la estructura del producto de od $D^2\times S^1$ y los anillos son paralelas a $\partial D^2$.
Ahora, realizar un Dehn de la cirugía, a lo largo del núcleo de la curva de $S$, de tal manera que el intercambio de meridiano de $S$ con su longitud. Es decir, eliminar un toro de la forma $D^2\times S^1$ y el pegamento por itendifying $\partial D^2$$S^1$.
Desde el punto de vista de la torus $S$, esto es equivalente a cambiar los anillos para que se conviertan en paralelo a $S^1$ en la estructura de $D^2\times S^1$. Así que los anillos ahora ya no está vinculado discos.
Ahora, usted puede dar el nuevo toro de la estructura de $[0,1]\times[0,1]\times S^1$ donde los anillos son exactamente $A_0=[0,1]\times\{0\}\times S^1$ $A_1=[0,1]\times\{1\}\times S^1$ y el fibration de $A_i$ es por los segmentos de la forma$[0,1]\times\{i\}\times\{\theta\}$$i=0,1$.
Es claro que un producto fibration extenderse a todo el toro por
$[0,1]\times\{t\}\times\{\theta\}$ $t\in[0,1]$.
Esta estructura de producto es en realidad una extensión de la estructura del producto de la gruesa avión y le da el producto necesario de la estructura.
EDITAR:
Una manera alternativa de ver es la siguiente. De nuevo, deje $g=1$ por la simplicidad. El espacio de $N$ se obtiene mediante la instalación de un anillo (el ámbito de menos de dos discos), a una sólida torus $D^2\times S^1$, y luego por thikening un poco el anillo.
El círculo donde el anillo se adjunta los límites de discos-de fibras de $D^2\times S^1$.
Si se piensa un poco, se ve que la realización de la Dehn cirugía que cambia el meridiano con la longitud es equivalente a adjuntar el anillo a la sólida toro de una manera diferente, es decir, a lo largo de círculos paralelos a la $S^1$ componente de $D^2\times S^1$. Es decir, que se va a adjuntar un cilindro (que es homeomórficos a un anulus) a un donut, de tal manera que el "agujero" de la rosquilla se corresponde con el "agujero" del cilindro. Después de thikening, esto es equivalente a identificar a los dos componentes del borde del cilindro (y, a continuación, thikening). El resultado es $T^2\times S^1$.
