Para los conjuntos de $A,B$, vamos a $|A|\leq^*|B|$ dice que existe una sobre el mapa de $f:B\rightarrow A$ o $A=\emptyset$.
Mi pregunta es, es $$\forall A,B(|A|\leq^*|B|\longrightarrow |A|\leq|B|)$$ equivalente al axioma de elección?
Gracias
Respuesta
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No lo sabemos.
Esto se conoce como el principio de la partición (tenga en cuenta que la otra implicación es trivial en $\sf ZF$). El problema de si es o no es equivalente al axioma de elección ha estado abierta por más de un siglo.
No hay mucho que decir acerca de esto, de verdad. Sabemos que implica una elección básica, principios tales como "Todo conjunto infinito es Dedekind infinito", pero no sabemos mucho más. Cada vez que pienso en el problema se me presenta el mismo problema, no tenemos suficientes herramientas para gestionar o incluso comprender las estructuras de los cardenales en arbitraria modelos de $\sf ZF$. Ni siquiera en $\leq$ y no digamos en $\leq^*$.
