Sobre la suma de los dígitos de $k^{105}$.

Question

Leí aquí que

No podemos encontrar un entero $k>2$ tales que la suma de los dígitos de $k^{105}$ $k$.

¿Alguien sabe una prueba de ello?

Answer 1

Un tonto-pero-enfoque de trabajo podría tener este aspecto:

• $k^{105}$ $1+\lfloor\log_{10} k^{105}\rfloor=1+\lfloor 105\log_{10} k\rfloor$ dígitos.
• Un número con $n$ de dígitos se suma de dígitos entre el$1$$9n$.
• Por lo tanto, el máximo posible de suma de dígitos de $k^{105}$$9(1+\lfloor 105\log_{10}k\rfloor)$.
• Esta cantidad es menor que $k$$k\geq 3330$.
• Esto reduce el problema a un número finito, lo que puede ser fácilmente terminado por un ordenador.