Números trascendentales independientes

Question

He estado pensando en los números que aún no se ha demostrado ni refutado que sean trascendentales, como por ejemplo $e + \pi,\, \pi - e,\, \frac{\pi}{e},\, \gamma,\,\zeta(3),$ etc. Algunos de estos números ni siquiera han sido probados como irracionales, por lo que naturalmente me llevó a cuestionar si la trascendencia de estos números podría ser tal vez independiente de $\sf ZF$ o $\sf ZFC$ . ¿Existen (o pueden existir) números tales que su trascendencia o irracionalidad sea independiente de $\sf ZF$ o $\sf ZFC$ ?

Soy consciente de que esta pregunta puede no estar resuelta, por lo que también se agradecerían las referencias pertinentes.

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Tenga en cuenta que por número Me refiero a uno que no está definido condicionalmente utilizando alguna otra afirmación independiente como la hipótesis del continuo o el axioma de elección. (Pregunta al margen: ¿qué pasa si cambiamos esta definición para exigir que el número pueda ser calculado con una precisión arbitraria?)

Answer 1

Puede codificar $\Pi^0_1$ para definir un real de la siguiente manera: Supongamos que $R(n)$ es un predicado recursivo. Definir $x_R = \sum \{2^{-n!} : (\forall m < n)R(m)\}$ . Entonces no es difícil comprobar que $x_R$ es trascendental si $(\forall n)R(n)$ . Obsérvese que el uso de un programa informático para $R(n)$ se puede estimar $x_R$ con una precisión arbitraria. Como hay predicados recursivos $R(n)$ (por ejemplo, " $n$ no codifica una prueba de $0=1$ en ZFC") para el que $(\forall n)R(n)$ es indecidible en ZFC, tienes el tipo de ejemplos que buscas.