¿Cuáles son los 8 3manifolds euclidianos no compactos?

Question

He encontrado varias fuentes que mencionan que existen ocho 3-manifolds euclidianos no compactos, con cuatro orientables y cuatro no orientables. Hay dos referencias estándar al respecto, pero desgraciadamente ambas están en alemán:

Nowacki, Werner. "Las formas euclidianas, tridimensionales, de espacio cerrado y abierto". Commentarii Mathematici Helvetici 7, nº 1 (1934): 81-93.

Hantzsche, Walter, y Hilmar Wendt. "Formas espaciales euclidianas tridimensionales". Anales Matemáticos 110, nº 1 (1935): 593-611.

¿Cuáles son los ocho 3manifolds euclidianos no compactos?

Answer 1

Los cuatro 3manifolds eulcidianos no compactos orientables son:

• $\mathbb{R}^3$ ,
• $\mathbb{R}^2\times S^1$ ,
• $\mathbb{R} \times S^1 \times S^1$ y
• Otro colector $X$ .

El colector $X$ puede describirse como el cociente de $[0,1]\times[0,1]\times\mathbb{R}$ obtenido al realizar las identificaciones $$ (0,y,z) \sim (1,y,z) \qquad\text{and}\qquad (x,0,z) \sim (1-x,1,-z) $$ para todos $x,y\in[0,1]$ y $z\in\mathbb{R}$ . Algunas notas sobre este colector:

• La imagen de $[0,1]\times[0,1]\times\{0\}$ es una botella de Klein, y $X$ deformación se retrae sobre esta botella de Klein. Así $X$ no es homeomorfo a ninguna de las otras tres posibilidades enumeradas.

• $X$ puede describirse como el haz vectorial de $2$ -forma en la botella Klein. Nótese que este haz vectorial no es trivial ya que no tiene sección global distinta de cero (puesto que la botella de Klein no es orientable).

• $X$ también puede describirse como un cilindro ( $S^1\times\mathbb{R}$ ) sobre un círculo, en el que al dar una vuelta al círculo se "voltea" el cilindro, es decir, se hace girar el cilindro. $180^\circ$ alrededor de un eje perpendicular al eje del cilindro.

---

Los cuatro 3manifolds euclidianos no compactos no orientables son:

1. $M\times \mathbb{R}$ ,

2. $M\times S^1$ ,

3. $K\times \mathbb{R}$ y

4. Otro colector $Y$ .

Obsérvese que (2) y (3) son diferentes, ya que $M\times S^1$ deformación se retrae sobre un toroide y $K\times\mathbb{R}$ deformación se retrae sobre una botella de Klein.

El colector $Y$ puede describirse como el cociente de $[0,1]\times[0,1]\times\mathbb{R}$ obtenido al realizar las identificaciones $$ (0,y,z) \sim (1,y,-z) \qquad\text{and}\qquad (x,0,z) \sim (1-x,1,z) $$ o alternativamente $$ (0,y,z) \sim (1,y,-z) \qquad\text{and}\qquad (x,0,z) \sim (1-x,1,-z) $$ para todos $x,y\in[0,1]$ y $z\in\mathbb{R}$ . Algunas notas sobre este colector:

• La imagen de $[0,1]\times[0,1]\times\{0\}$ es una botella de Klein, y $Y$ deformación se retrae sobre esta botella de Klein.

• Sin embargo, $Y$ es no homeomorfo de $K\times\mathbb{R}$ . Por ejemplo, $Y$ sólo tiene una fin mientras que $K\times\mathbb{R}$ tiene dos extremos.

• $Y$ también puede describirse como un haz de bandas de Mobius sobre un círculo, donde dar una vuelta al círculo corresponde a un homeomorfismo de la banda de Mobius que no es isotópico a la identidad. (Sólo existe un homeomorfismo de este tipo hasta la isotopía, que actúa como inversión en el grupo fundamental).

• $Y$ está doblemente cubierta por la variedad orientable $X$ dado arriba. Esto también la distingue de $K\times \mathbb{R}$ cuya doble envoltura orientable es $S^1\times S^1 \times \mathbb{R}$ . La transformación de cubierta de $X$ que da $Y$ es el mapa $(x,y,z)\mapsto (x+\tfrac12,y,-z)$ .

• Cualquier haz de líneas sobre la botella de Klein es homeomorfo a $K\times\mathbb{R}$ , $X$ o $Y$ .