Bueno, es fácil demostrar que $e^z$ nunca es cero y $z$ es cualquier número complejo. Además, $e^z$ pueden ser tanto positivos como negativos. Por otro lado, $e^z$ es continua. ¿Cómo es posible que una función continua puede ser negativas y positivas pero nunca conoce a cero?
Detalladas explicaciones simples sería mucho apreció.
La función de $f:\mathbb Q\setminus \{0\}\to \mathbb R$ definido por $f(q)=q$ es continua en cada número racional $q\neq 0$, toma valores positivos y negativos, pero nunca es $0$. El teorema del valor intermedio es válido para las funciones de $f: I\subset \mathbb R\to\mathbb R$ donde $I$ es un intervalo cerrado i.e conjunto conectado en $\mathbb R$).
El ejemplo que dan con $e^z:\mathbb C\to\color{red}{\mathbb C}$ en realidad no muestra nada, porque no hay ninguna orden total en los números complejos. También se puede leer en la Wikipedia:
Del valor medio teorema generaliza de una manera natural: Supongamos que $X$ está conectado a un espacio topológico y $(Y, <)$ es un conjunto totalmente ordenado equipada con el fin de topología, y deje $f : X → Y$ ser un mapa continuo. Si $a$ $b$ son dos puntos en $X$ $u$ es un punto en $Y$ que se extiende entre los $f(a)$ $f(b)$ con respecto al $<$, entonces no existe $c$ $X$ tal que $f(c) = u$.
Editar: Si $f$ es continua, entonces el IVT puede dejar de aplicar, ya sea porque el dominio de $f$ no está conectado, o porque el codominio no es totalmente ordenado:
En mi ejemplo, $\mathbb R$ es totalmente ordenado y el IVT no aplica debido a que $\mathbb Q\setminus \{0\}$ no está conectado.
En el OP ejemplo $e^z:\color{blue}{\mathbb C}\to\color{red}{\mathbb C}$, $\quad \color{blue}{\mathbb C}$ está conectado y el IVT no aplica debido a que $\color{red}{\mathbb C}$ no es totalmente ordenado.
Si se quita el cero a partir de $\mathbb{R}$ el resultado es una desconectado conjunto, mientras que si se quita el cero a partir de $\mathbb{C}$, todavía está conectado.
Si $f$ es una función continua en un conjunto conectado a$C$, $f(C)$ es conectado.
Por lo tanto, si $f$ es una verdadera valores de función continua que nunca toma la el valor cero, entonces debemos tener $f(C) \subset (-\infty, 0)$ o $f(C) \subset (0, \infty)$, por lo que no puede tomar valores positivos y negativos.
Si $f$ es un complejo de valores de función continua que nunca toma la el valor cero, entonces todo lo que podemos decir es que el $f(C) \subset \mathbb{C} \setminus \{0\}$.
Una analogía es que no puedo pasar un vehículo en un solo carril de la calzada (bueno, tal vez...), pero me puede caminar alrededor de un obstáculo en el medio de un campo.
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