¿Qué cosas podemos probar que deben existir, pero no tenemos idea de qué son?

Question

¿Qué cosas podemos probar que deben existir, pero no tenemos idea de qué son?

Ejemplos que se me ocurren:

• Valores de la Función de castor ocupado : Es una función bien definida, pero no computable.
• Hacía tiempo que se sabía que debían existir patrones autorreplicantes en El juego de la vida de Conway pero el primer patrón de este tipo no se descubrió hasta 2010
• Por el Teorema de la ordenación bajo los supuestos del axioma de elección, todo conjunto admite un ordenamiento bueno. (Véase también ¿Existe una ordenación conocida de los reales? )

Answer 1

No estoy seguro de que esto satisfaga el requisito de que "no tenemos ni idea de lo que son", pero la extrañísima constante de Mill parece digna de mención aquí: Se supone que hay algún número real $r>0$ con la propiedad de que la parte entera de $$r^{3^n}$$ es primo para todo natural $n$ . No se sabe si $r$ es racional y, por lo que sé, ni siquiera una aproximación numérica de $r$ es posible sin asumir la hipótesis de Riemann.

Fuente: Wikipedia

Answer 2

Hay una serie de juegos, como Hex y Chomp para el que es fácil demostrar que un primer jugador gana por robo de estrategia, pero generalmente no conocemos la estrategia ganadora.

Answer 3

Toma los objetos cuya prueba de existencia utiliza el axioma de elección Por ejemplo

• Cada espacio vectorial tiene una base (la prueba de existencia estándar utiliza El lema de Zorn ). ¿Cómo es que una base concreta de $C[a,b]$ ¿se ve así? ¿Qué pasa con $\mathbb R$ como $\mathbb Q$ -¿espacio vectorial?
• Ultrafiltro que se utilizan en la construcción del hiperreales : ¿La secuencia $(0,1,0,1,0,1,\ldots)$ representan $0$ o $1$ ? La respuesta a esta pregunta depende del ultrafiltro elegido, pero su prueba de existencia utiliza el axioma de elección...

Números bien definidos de los que actualmente sólo se conocen estimaciones:

• Números de Ramsey .

Answer 4

El primer dígito (decimal) del ridículamente enorme número $TREE(3)$ . (Ver https://cp4space.wordpress.com/2012/12/19/fast-growing-2/ y http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2006-March/010279.html .)

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De acuerdo, se podría objetar: "¡Pero si es un objeto absolutamente carente de interés!". Puede ser; sin embargo, yo diría que es metainteresante en el siguiente sentido. El problema

Determine el dígito inicial de $TREE(n)$

Creo que es muy difícil: apostaría los ahorros de toda mi vida a que no está en $P$ , $NP$ , $EXP$ . . . o realmente cualquier clase de complejidad razonable, simplemente porque para calcularla parece que tenemos que calcular $TREE(n)$ . Pero hasta donde yo sé, probando que tenemos que hacer esto (y mucho menos dejar claro qué que queremos decir con esto) está galácticamente fuera de alcance, y me sorprendería enormemente si viviera para ver siquiera una prueba de que el problema no es computable en tiempo lineal.

Así que yo diría que los dígitos principales de esos números enormes son interesantes como clase, incluso si individualmente son un poco inútiles, porque representan un tipo realmente extraño de cálculo intratable.

Answer 5

Las colisiones en los hashes criptográficos deben existir debido al principio del encasillamiento. Aunque se han encontrado algunas colisiones para algunas funciones hash, "no tenemos ni idea de cuáles son" en el sentido de que no se pueden calcular fácilmente.