Aproximación de magia negra "Hartree"

Question

La pregunta se refiere a una versión inusual de la aproximación de Hartree o del campo medio. El contexto son varios artículos que he leído recientemente sobre la dinámica fuera del equilibrio de las transiciones de fase en el universo primitivo [1-3]. El procedimiento consiste en desplazar un campo (escalar) $\Psi \to \psi + \langle \Psi \rangle$ , donde $\psi$ son fluctuaciones y $\langle \Psi \rangle$ es un campo de fondo. Esto está perfectamente bien. Entonces se simplifica la dinámica de las fluctuaciones sustituyendo los términos cúbicos y cuárticos por términos cuadráticos, así:

$$ \psi^4 \to 6 \langle \psi^2 \rangle \psi^2 - 8 \langle \psi \rangle^3 \psi + 6 \langle \psi \rangle^4 - 3 \langle \psi^2 \rangle^2, $$

$$ \psi^3 \to 3 \langle \psi^2 \rangle \psi - 2 \langle \psi \rangle^3. $$

Véase la nota 11 de [3] para estas fórmulas completas; las demás referencias las simplifican utilizando $\langle \psi \rangle = 0$ . También tenga en cuenta que esto se supone que funciona para bosónico campos.

En los periódicos estas sustituciones surgen de la nada.

Entiendo que la idea es hacer que el problema se pueda resolver reduciendo el orden de los términos de interacción (y luego determinar eventualmente un $\langle\Psi\rangle$ ), pero estoy muy confundido con los coeficientes numéricos. ¿De dónde proceden? ¿Existe una forma sistemática de deducirlos, o una condición de consistencia que deban satisfacer? ¿Por qué se alternan los signos? ¿Cuál es la relación de esta aproximación "Hartree" con el ¿La aproximación de Hartree que tiene que ver con la minimización de la energía para las funciones de onda separables o la suma de una clase particular de diagramas de Feynman?

He probado las historias aparentemente probables:

• Al principio parece que puede ser algo relacionado con las contracciones de Wick, pero los signos son un problema incluso si todos los números salieran del tamaño correcto, que no es así.
• Aplicando repetidamente la regla de la teoría del campo medio $AB \to A\langle B\rangle + \langle A\rangle B - \langle A\rangle\langle B\rangle$ tampoco parece funcionar.
• Tampoco la escritura $\psi^4 = (\psi - \langle\psi\rangle)^4 + \cdots$ y tachar el $(\psi - \langle\psi\rangle)^4$ término, o lo mismo para $\psi^4 = (\psi^2 - \langle\psi^2\rangle)^2 + \cdots$
• Su aspecto es similar al de la expansión cumulante pero tampoco puedo sacarlo de ahí.
• El enciclopedia en línea de secuencias de números enteros ¡era completamente inútil!

Una indicación bibliográfica sería aceptable si la derivación es larga, pero por favor dame un artículo que explica ¡el resultado! Hasta ahora sólo he encontrado cosas que cita y actuar como si fuera lo más obvio del mundo. Lo siento si lo es... Siento que me falta algo muy básico. :)

1. Boyanovsky, D., Cormier, D., de Vega, H., & Holman, R. (1997). Out of equilibrium dynamics of an inflationary phase transition. Physical Review D, 55(6), 3373-3388. doi:10.1103/PhysRevD.55.3373
2. Boyanovsky, D., & Holman, R. (1994). Nonequilibrium evolution of scalar fields in FRW cosmologies. Physical Review D, 49(6), 2769-2785. doi:10.1103/PhysRevD.49.2769
3. Chang, S.-J. (1975). Fluctuaciones cuánticas en una teoría de campo ^{4}. I. Stability of the vacuum. Physical Review D, 12(4), 1071-1088. doi:10.1103/PhysRevD.12.1071

Answer 1

Derivaré aquí la segunda fórmula, ya que es más sencilla. Puedes seguir el mismo procedimiento para derivar la primera (aunque el álgebra será un poco más complicada). Supongamos que $\psi$ es una variable estocástica. Es importante aclarar que $\psi$ no deben ser descritas por una distribución gaussiana. De hecho, esta derivación constituye una aproximación gaussiana. Consideremos la media $\langle\psi^³\rangle$ . Puede escribir:

$\psi=\langle\psi\rangle+\delta\psi$ ,

con $\delta\psi=\psi-\langle\psi\rangle$ . Entonces, la media que nos interesa, escribe:

$\langle\psi^³\rangle=\langle(\langle\psi\rangle+\delta\psi)^3\rangle= \langle\psi\rangle^3+3\langle\psi\rangle^2\langle\delta\psi\rangle+3\langle\psi\rangle\langle\delta\psi^2\rangle+\langle\delta\psi^3\rangle$ .

La fórmula anterior es exacta y aún no se ha utilizado ninguna aproximación. Ahora, observe que el segundo término de la h.r. de la expansión anterior desaparece ya que, por definición, $\langle\delta\psi\rangle\equiv0$ . Por otro lado, considerando sólo pequeñas fluctuaciones, el término principal viene dado por el tercero, y podemos dejar de lado el término que es cúbico en las fluctuaciones. Con esto, tenemos:

$\langle\psi^³\rangle\approx\langle\psi\rangle^3+3\langle\psi\rangle\langle\delta\psi^2\rangle=\langle\psi\rangle^3+3\langle\psi\rangle\langle(\psi-\langle\psi\rangle)^2\rangle=\langle\psi\rangle^3+3\langle\psi\rangle(\langle\psi^2\rangle-\langle\psi\rangle^2)$ .

Así, tenemos $\langle\psi^³\rangle\approx3\langle\psi\rangle\langle\psi^2\rangle-2\langle\psi\rangle^3$ . Ahora llega la segunda aproximación. La idea es escribir una ecuación "operativa" para $\psi$ lo que lleva al resultado anterior. Nótese que $\psi$ es una variable aleatoria. Si se considera una nueva variable estocástica $\phi$ definido como

$\phi\stackrel{\text{def}}{=}3\psi\langle\psi^2\rangle-2\langle\psi\rangle^3$ ,

tendrás exactamente eso $\langle\phi\rangle=3\langle\psi\rangle\langle\psi^2\rangle-2\langle\psi\rangle^3$ . Entonces, la verdadera esencia de la aproximación es aproximar la variable aleatoria $\psi^3$ por la variable aleatoria $\phi$ , $\psi^3\approx3\psi\langle\psi^2\rangle-2\langle\psi\rangle^3$ que conducen a la forma aproximada de la media $\langle\psi^3\rangle$ que hemos derivado previamente. Repitamos el mismo procedimiento para la primera identidad (la de $\psi^4$ ) y obtendrá los coeficientes correctos.

Answer 2

Bueno, no tengo ni idea de si esta es la derivación original de las aproximaciones, pero he podido obtener estas expresiones a partir de un procedimiento razonable, aunque ad hoc. Supongamos que $\psi$ se distribuye normalmente con media y varianza $\mu\equiv\langle\psi\rangle$ , $\sigma^2$ respectivamente. Esto es cierto sólo para las amplitudes de modo de un campo libre, pero qué demonios, vamos con ello. De todos modos, estamos tratando de aproximar el campo que interactúa mediante un campo libre "más o menos".

Ahora queremos aproximar $\psi^4$ con un polinomio homogéneo de grado 4 en $\psi,\psi^2,\langle\psi\rangle,\langle\psi^2\rangle$ sólo porque son los únicos términos que pueden ir en el lagrangiano de campo medio. La forma más general es

$$ \text{approx} = (a_1 \langle\psi^2\rangle + a_2 \langle\psi\rangle^2) \psi^2 + (b_1 \langle\psi^2\rangle \langle\psi\rangle + b_2 \langle\psi\rangle^3) \psi + c_1 \langle\psi\rangle^4 + c_2 \langle\psi^2\rangle^2 + c_3 \langle\psi^2\rangle \langle\psi\rangle^2.$$

Existe un espacio de 7 dimensiones de aproximaciones que queremos reducir a una única "mejor" en el siguiente sentido: queremos igualar tantos momentos de bajo orden como podamos:

$$ \langle\psi^4 \psi^n\rangle = \langle\text{approx}\ \psi^n\rangle, $$

para $n=0$ hasta lo más grande que podamos hacer. Resulta que la coincidencia de $n=0,1,2$ determinan de forma única la solución $a_1=6,a_2=0,b_1=0,b_2=-8,c_1=6,c_2=-3,c_3=0$ (¡gracias Mathematica!) que coincide con la expresión de la pregunta. Podemos examinar los momentos superiores. Éstos no pueden coincidir sólo con los términos disponibles, pero es sencillo calcular los errores. Sorprendentemente, los errores se reducen a más grande $\mu$ con errores relativos que van como $\mu^{-6}$ en general $\mu$ . No estoy seguro de qué hacer con esto, porque principalmente queremos usar la aproximación a $\mu=0$ . Para $\mu=0$ los errores relativos desaparecen para $n=\text{odd}$ y que asintonicen a $O(1)$ o crecer logarítmicamente para grandes $n$ (no estoy seguro de cuál es el comportamiento al ver los gráficos).

A continuación se presentan algunos gráficos de distribución que muestran la evidente mejora a mayor $\mu$ (Monte Carlo - dist. verdadera a la izquierda, aprox. a la derecha):

Puedes jugar el mismo juego para $\psi^3$ . Existe un espacio de cinco dimensiones de aproximaciones:

$$ \text{approx} = a_1 \langle\psi\rangle \psi^2 + (b_1 \langle\psi^2\rangle + b_2 \langle\psi\rangle^2) \psi + c_1 \langle\psi\rangle^3 + c_2 \langle\psi\rangle \langle\psi^2\rangle. $$

A juego con $\langle\psi^3\psi^n\rangle$ para $n=0,1,2$ fija la solución $a_1=3,b_1=3,b_2=-6,c_1=4,c_2=-3$ . Esto no coincide con la expresión dada pero Obsérvese que la aproximación en la pregunta es lineal ya que se utiliza en la ecuación de movimiento y no en la lagrangiana (véase el artículo original). Por lo tanto, para obtener la mejor aproximación lineal, eliminamos el $n=2$ emparejamiento y conjunto $a_1=0$ . Esto da la expresión de la pregunta. Así que si aproximando $\psi^3$ en el Lagrangiano utilizar la expresión calculada aquí pero si aproximando $\psi^3$ en el ecuaciones de movimiento utilice la forma indicada en el pregunta .

¡Uf!

Answer 3

Sólo quiero añadir algunos detalles con el ánimo de hacer más completa la respuesta anterior de R. García-García, y también aclarar un detalle de la pregunta.

Utilizando la notación del interrogador, en realidad lo que tenemos es la regla $\Psi \rightarrow 3\langle\Psi^2\rangle\Psi - 2\langle\Psi\rangle^3$ . Por pura y simple manipulación algebraica, se puede demostrar que esta regla es equivalente al conjunto de dos reglas $\psi^2 \rightarrow \langle\psi^2\rangle$ y $\psi^3 \rightarrow 3\langle\psi^2\rangle\psi$ . Las normas que implican sólo $\psi$ no $\Psi$ es lo que la pregunta pretendía plantear.

Esta equivalencia debería sonar correcta, ya que el propósito de la aproximación de Hartree, como se mencionó anteriormente, es aproximar el orden alto de la variable estocástica proporcionada por una nueva variable estocástica que tiene relaciones simples con los órdenes pequeños de la proporcionada, y las dos formas equivalentes simplemente corresponden a aproximar ya sea (fondo + fluctuación), es decir. $\Psi$ o (sólo fluctuación), es decir $\psi$ .

Además, creo que decir que algunos árbitros utilizan $\langle\psi\rangle=0$ para simplificar la expresión de las reglas, como en la pregunta, es un poco engañoso. No es que podamos elegir imponer la condición $\langle\psi\rangle=0$ Esta condición (o mejor dicho, definición, ya que queremos interpretar $\psi$ como la fluctuación, separada del fondo) es necesaria para "derivar" la regla de factorización (completa) de Hartree $\Psi \rightarrow 3\langle\Psi^2\rangle\Psi - 2\langle\Psi\rangle^3$ como se demuestra en la respuesta de R. García-García. Si ves algunas factorizaciones de Hartree que implican una media de primer orden del campo no nula, entonces el campo que se promedia debe ser el fondo + la fluctuación, no sólo la fluctuación.