Probabilidad condicional P(A intersect B intersect C)

Question

Tengo curiosidad por lo que el desglose de cómo sucede la transición por la siguiente fórmula. Obtener cómo $P(A \cap B) = P(A\mid B)P(B)$ que es la famosa probabilidad condicional. Pero estoy totalmente perdido cuando hay que tres sistemas involucrados. ¡ Gracias!

$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)$$

Answer 1

Es simplemente una doble aplicación de la fórmula de dos eventos, pensando primero en $A\cap B$ como un solo evento:

$$\begin{align*} P(A\cap B\cap C)&=P\big((A\cap B)\cap C\big)\\ &=P\big(C\mid(A\cap B)\big)P(A\cap B)\\ &=P\big(C\mid(A\cap B)\big)\Big(P(B\mid A)P(A)\Big)\\ &=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)\;. \end{align*} $$

Answer 2

Es lo mismo pero utilizas la misma regla dos veces.

$$P(A,B,C)=P(C\mid B,A)P(B,A)$$

Aquí asumen $(A,B)=K$ y $P(A,B,C)=P(C\mid K)P(K)$ mismo con su regla. Entonces para el segundo caso

$$P(A,B,C)=P(C\mid B,A)P(B,A)=P(C\mid B,A)P(B\mid A)P(A)$$

volver a usar la misma regla $P(B,A)=P(B\mid A)P(A)$.