¿Para qué se utiliza $\longleftrightarrow$ en matemáticas? Sé que $\iff$ se utiliza para "Si y solo si". ¿Son lo mismo? Estaba viendo un video de YouTube que decía:
$$\sum^{\infty}_{n=1} {1\over n^x} \longleftrightarrow \int^{\infty}_{1} {1\over t^x} dt$$
El profesor menciona convergencia/divergencia, pero me confundí cuando apareció la notación.
En el área de la lógica, $\longleftrightarrow$ se usa generalmente para "si y solo si" en lugar de $\iff$ (porque ¿quién quiere molestarse en dibujar esa segunda línea todo el tiempo).
De lo contrario, al tratar con funciones, $\longleftrightarrow$ también podría usarse para denotar una función biyectiva. Entonces $f \colon A \leftrightarrow B$ es una biyección entre $A$ y $B. O podrías escribir de manera similar $$ A \overset{f}{\longleftrightarrow} B $$
En cuanto a lo que probablemente se quiso decir en el video que viste, lo siguiente es cierto:
Para un valor dado de $x$, se tiene que $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ converge si y solo si $\int\limits_{1}^\infty \frac{1}{t^x}dt$ converge.
Ooooohhh ¿Se puede usar para mostrar una biyección?... No estoy seguro si es el mismo caso para el mío, pero ¡me encanta el conocimiento compartido :)!... Gracias.
Además, estábamos intentando probar la divergencia de la suma en $ x = 1 $, por lo que esta propiedad tiene sentido. ¿Sabes el nombre de esta propiedad para poder estudiarla más a fondo?
Lo entiendo, en este contexto, como un signo correspondiente a una "equivalencia aproximada" entre la convergencia de ambos términos, bajo condiciones específicas que no están totalmente mencionadas. El presentador escribe que una suma diverge/converge si la integral correspondiente diverge/converge. Lo traduciría como: "La propiedad del LHS está (de alguna manera) fuertemente relacionada con la del RHS".
No es un "si y solo si", de hecho esto no es cierto en general en ese caso.
El símbolo $\leftrightarrow$ aparece después de la prueba integral de Maclaurin-Cauchy para la convergencia (también conocida como teorema integral de Cauchy que es bastante diferente). La prueba estándar funciona bajo las siguientes condiciones:
Entonces la serie infinita $\sum_{n=n_0}^\infty f(n)$ converge a un límite finito si y solo si ($\Leftrightarrow$) la integral impropia $\int_N^\infty f(x)\,dx$ es finita. Y si la integral diverge, entonces la serie también diverge. Aquí, la prueba funciona para la serie $p$, ya que $t \to \frac{1}{t^x}$ es continuamente decreciente para $x >0$, y la convergencia de la serie depende de $x> 1$ o no.
Como se menciona en los comentarios, muchos símbolos matemáticos tienen varias interpretaciones (por ejemplo, biyección o bicondicional lógico).
Por un lado, $\longleftrightarrow$ se usa para conectar fórmulas proposicionales (por ejemplo, $p\to q \lor (p\longleftrightarrow q) \land \lnot w$). Puedes entenderlo como un operador binario como Y ó O, que están representados por los símbolos $\land$ y $\lor$, como ya sabrías.
Aquí puedes ver su tabla de verdad.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p\longleftrightarrow q\\ \hline T&T&T\\ \hline T&F&F\\ \hline F&T&F\\ \hline F&F&T\\ \hline \end{array}$$
Por otro lado, $\iff$ se usa como un conector de fórmulas proposicionales. Puedes ver ambos usos aquí: $$p\longleftrightarrow q \iff (p\to q) \land (q \to p)$$
¿Y qué significa $a \iff b$? Si escribes $a \iff b$, entonces podrías decir lo mismo escribiendo que la bicondición $a \text{ es verdadero} \longleftrightarrow b \text{ es verdadero}$ siempre es verdadera. Nota que esto funciona independientemente de cuáles sean los valores de verdad de $a \text{ es verdad}$ o $b \text{ es verdad}$.
Editar: en otros campos aparte de la lógica, (al menos en grados básicos), elegir uno u otro no importa demasiado ($\longleftrightarrow$ o $\iff$ son solo traducciones "perezosas" de matemáticas del simple conector en inglés "if and only if").
Dices que uno "se utiliza para conectar fórmulas proposicionales" y el otro "se utiliza como conectivo de fórmulas proposicionales". ¿Se supone que uno de estos debe tener una palabra diferente, o estoy perdiendo la sutil distinción entre "para conectar" y "como conectivo de"?
Como se mencionó en los comentarios, esto casi con certeza es un uso idiosincrático, y el autor (¿es esa la palabra correcta para alguien que hace un video de YouTube? Probablemente no) debería haber explicado lo que pretendía que signifique el símbolo. Sin ningún contexto adicional, es difícil saber con certeza, pero voy a arriesgarme a adivinar que el símbolo pretende denotar "son equivalentes" en algún sentido (quizás mal definido). ¿En qué sentido? Probablemente en el sentido de "equiconvergencia" - es decir, su comportamiento de convergencia es equivalente (uno de ellos converge si y solo si el otro lo hace).
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Al igual que la mayoría de las notaciones en matemáticas, esto depende al menos en cierta medida del contexto....
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Probablemente. Pero muchos símbolos tienen múltiples funciones.
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@AndréNicolas sí, esto se llama sobrecarga de símbolos (para tomar prestado un término de programación) :)
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El uso que citas, si efectivamente es una cita completa, es un uso incorrecto del símbolo que me sorprendería ver usar a un profesional. Estaría bien decir que el primero converge $\longleftrightarrow$ el segundo converge.
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Para aquellos que deseen ver el contexto, el símbolo en cuestión aparece en el video de YouTube vinculado alrededor del minuto 8:30. El contexto deja claro que el uso previsto es la equiconvergencia.