¿Qué significa esta flecha de doble sentido $\longleftrightarrow$?

Question

¿Para qué se utiliza $\longleftrightarrow$ en matemáticas? Sé que $\iff$ se utiliza para "Si y solo si". ¿Son lo mismo? Estaba viendo un video de YouTube que decía:

$$\sum^{\infty}_{n=1} {1\over n^x} \longleftrightarrow \int^{\infty}_{1} {1\over t^x} dt$$

El profesor menciona convergencia/divergencia, pero estaba confundido cuando apareció la notación.

Answer 1

En el área de la lógica, $\longleftrightarrow$ se suele usar para "si y solo si" en lugar de $\iff$ (porque a quién le gusta molestar dibujando esa segunda línea todo el tiempo).

De lo contrario, al tratar con funciones, $\longleftrightarrow$ también podría usarse para denotar una función biyectiva. Entonces $f \colon A \leftrightarrow B$ es una biyección entre $A$ y $B. O podrías escribir de manera similar $$ A \overset{f}{\longleftrightarrow} B $$

Con respecto a lo que probablemente se quiso decir en el video que viste, lo siguiente es verdad:

Para un valor dado de $x$, uno tiene $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ converge si y solo si $\int\limits_{1}^\infty \frac{1}{t^x}dt$ converge.

Answer 2

Lo entiendo, en este contexto, como un signo correspondiente a una "equivalencia laxa" entre la convergencia de ambos términos, bajo condiciones específicas que no están completamente mencionadas. El presentador escribe que una suma diverge/converge si la integral correspondiente diverge/converge. Lo traduciría como: "La propiedad del LHS está (de alguna manera) fuertemente relacionada con la del RHS".

No es un "si y solo si", de hecho esto no es cierto en general en ese caso.

El símbolo $\leftrightarrow$ aparece después de la prueba integral de Maclaurin-Cauchy para la convergencia (el llamado teorema integral de Cauchy es bastante diferente). La prueba estándar funciona bajo las siguientes condiciones:

• $f$ es continua, definida en $[n_0, +\infty [$ para algún entero $n_0$,
• $f$ es monótona y decreciente.

Entonces, la serie infinita $\sum_{n=n_0}^\infty f(n)$ converge a un límite finito si y solo si ($\Leftrightarrow$) la integral impropia $\int_N^\infty f(x)\,dx$ es finita. Y si la integral diverge, entonces la serie también diverge. Aquí, la prueba funciona para la $p$-serie, ya que $t \to \frac{1}{t^x}$ es continua y decreciente para $x >0$, y la convergencia de la serie depende de $x > 1$ o no.

Como se menciona en los comentarios, muchos símbolos matemáticos tienen varias interpretaciones (por ejemplo, biyección o bicondicional lógico).

Answer 3

Por un lado, $\longleftrightarrow$ se utiliza para conectar fórmulas proposicionales (por ejemplo, $p\to q \lor (p\longleftrightarrow q) \land \lnot w$). Puedes entenderlo como un operador binario como Y o O, que se representan con los símbolos $\land$ y $\lor$, como ya sabrías.

Aquí puedes ver su tabla de verdad.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p\longleftrightarrow q\\ \hline T&T&T\\ \hline T&F&F\\ \hline F&T&F\\ \hline F&F&T\\ \hline \end{array}$$

Por otro lado, $\iff$ se utiliza como un conector de fórmulas proposicionales. Puedes ver ambos usos aquí: $$p\longleftrightarrow q \iff (p\to q) \land (q \to p)$$

¿Y qué significa $a \iff b$? Si escribes $a\iff b$, entonces podrías decir lo mismo escribiendo que la bicondición $a \text { es verdadero} \longleftrightarrow b \text{ es verdadero} $ siempre es verdadera. Nota que esto funciona independientemente de cuáles sean los valores de verdad de $a \text { es verdadero} $ o $b \text { es verdadero}$.

Editar: en otros campos fuera de la lógica (al menos en grados básicos), elegir uno u otro no importa demasiado ($\longleftrightarrow$ o $\iff$ son solo traducciones matemáticas "perezosas" del conector inglés simple "if and only if").

Answer 4

Como se ha mencionado en los comentarios, esto casi con certeza es un uso idiosincrásico, y el autor (¿es esa la palabra correcta para alguien que hace un video de YouTube? Probablemente no) debería haber explicado lo que pretendía que significara el símbolo. Sin ningún contexto adicional, es difícil saber con certeza, pero voy a arriesgar una suposición de que el símbolo está destinado a denotar "son equivalentes" en algún sentido (quizás mal definido). ¿En qué sentido? Probablemente en el sentido de "equiconvergencia" - es decir, su comportamiento de convergencia es equivalente (uno de ellos converge si y solo si el otro lo hace).